neda.m
کاربر خاک‌انجمن‌خورده
- ارسال‌ها
- 1,720
- امتیاز
- 2,682
- نام مرکز سمپاد
- فرزانگان 1
- شهر
- تهران
- دانشگاه
- شهید رجائی تهران
- رشته دانشگاه
- مهندسی عمران - ژئوتکنیک
تو این تاپیک می خوام درباره ی قضیه ی سوا و عکس قضیه ی سوا توضیح بدم. بعدش هم اگه مایل بودین، چند تا مسئله هم حل کنیم که دقیقا ببینیم کاربردش چی هست. چون با استفاده از این قضیه خیلی از مسایل رو میشه راحت تر و جالب تر اثبات کرد!
اول هم از همه به یه تعریف نیاز داریم: هر خطی که یک راس مثلث را به نقطه ای از خط شامل مقابل آن وصل کند، خط سوایی نامیده می شود.
قضیه ی سوا:
اگر در مثلث ABC سه خط سوایی AX و BY و CZ همرس باشند، آن گاه:
این شکل ها رو ببینید:
شکل اول- نقطه ی همرسی درون مثلث ABC است.
شکل دوم- نقطه ی همرسی خارج مثلث ABC است.
حالا واسه هر دو حالت داریم:
پ.ن : S ABC یعنی مساحت مثلث ABC!
به طریق مشابه ثابت می شود که:
AZ/ZB = S CAP/ SCBP و CY/YA = S BCP/S BAP
از ضرب این نسیت ها نتیجه می شود که:
اثبات تمام شد!
حالا عکس قضیه رو هم می گم که بتونیم بریم مسئله اثبات کنیم:
عکس قضیه ی سوا:
اگر نقاط X, Y و Z به ترتیب روی اضلاع BC, CA و AB (یا امتداد آن ها) از مثلث ABC باشند، به طوری که AZ/ZB . BX/XC . CY/YA = 1 ، آن گاه خطوط AX و BY و CZ همرس اند.
این رو هم باید اثبات کرد، ولی فعلا اثباتش رو نمی نویسم، ولی اگه کسی خواست بگه که اثبات این رو هم بنویسم، بالاخره تو هندسه باید هر چیزی رو اثبات کرد!
حالا از این قضیه می شه واسه جاهایی استفاده کرد که بخوایم ثابت کنیم که سه تا خط مثلا تو یه مثلث همرس اند.
مثلا ثابت می کنیم که در هر مثلث سه میانه همرس اند که واسه سه ارتفاع و سه نیمساز هم میشه اثبات کرد:
اگر AX و BY و CZ میانه های مثلث ABC باشند، داریم:
پس: AZ/ZB . BX/XC . CY/YA = 1 و لذا بنابر عکس قضیه ی سوا خطوط AX و BY و CZ همرس اند.
پس اثبات شد اینم!
اگه مایل بودین به ادامه و تا اینجا کامل متوجه شدین، بگین که ادامه ش رو بذارم یا مسئله حل کنیم
اول هم از همه به یه تعریف نیاز داریم: هر خطی که یک راس مثلث را به نقطه ای از خط شامل مقابل آن وصل کند، خط سوایی نامیده می شود.
قضیه ی سوا:
اگر در مثلث ABC سه خط سوایی AX و BY و CZ همرس باشند، آن گاه:
AZ/ZB . BX/XC . CY/YA = 1
این شکل ها رو ببینید:
شکل (1)
شکل (2)
شکل اول- نقطه ی همرسی درون مثلث ABC است.
شکل دوم- نقطه ی همرسی خارج مثلث ABC است.
حالا واسه هر دو حالت داریم:
BX/XC = S ABX/S ACX = S BPX/S CPX => BX/XC = S ABP/ S ACP
پ.ن : S ABC یعنی مساحت مثلث ABC!
به طریق مشابه ثابت می شود که:
AZ/ZB = S CAP/ SCBP و CY/YA = S BCP/S BAP
از ضرب این نسیت ها نتیجه می شود که:
AZ/ZB . BX/XC . CY/YA = 1
اثبات تمام شد!
حالا عکس قضیه رو هم می گم که بتونیم بریم مسئله اثبات کنیم:
عکس قضیه ی سوا:
اگر نقاط X, Y و Z به ترتیب روی اضلاع BC, CA و AB (یا امتداد آن ها) از مثلث ABC باشند، به طوری که AZ/ZB . BX/XC . CY/YA = 1 ، آن گاه خطوط AX و BY و CZ همرس اند.
این رو هم باید اثبات کرد، ولی فعلا اثباتش رو نمی نویسم، ولی اگه کسی خواست بگه که اثبات این رو هم بنویسم، بالاخره تو هندسه باید هر چیزی رو اثبات کرد!
حالا از این قضیه می شه واسه جاهایی استفاده کرد که بخوایم ثابت کنیم که سه تا خط مثلا تو یه مثلث همرس اند.
مثلا ثابت می کنیم که در هر مثلث سه میانه همرس اند که واسه سه ارتفاع و سه نیمساز هم میشه اثبات کرد:
اگر AX و BY و CZ میانه های مثلث ABC باشند، داریم:
AZ/ZB = 1 و BX/XC = 1 و CY/YA = 1
پس: AZ/ZB . BX/XC . CY/YA = 1 و لذا بنابر عکس قضیه ی سوا خطوط AX و BY و CZ همرس اند.
پس اثبات شد اینم!
اگه مایل بودین به ادامه و تا اینجا کامل متوجه شدین، بگین که ادامه ش رو بذارم یا مسئله حل کنیم
