یه مسئله ی خفن هندسه یا ...

[Hiss!!!]

سه پاره خط داریم به طول های a , b c, که a ضریب 2^x , و b ضریب 1^x و c نیز ضریب 0^x در یک معادله ی درجه ی دوم هستند.پاره خط به طوا واحد(یک) هم داریم.چگونه میتوان با استفاده از این سه پاره خط جواب های معادله را پیدا کرد!!!؟؟؟

 

[احسان]

پاسخ : یه مسئله ی خفن هندسه یا ...

این راه شاید یه کم پیچیده باشه، ولی درسته! توی این راه حل از 2 تا لم استفاده می کنم که اثباتشون سخت نیست!!


لم 1 : اگه سه پاره خط به طول های p و q و r داشته باشیم، می تونیم پاره خطی به طول p * q / r رسم کنیم!

(اثباتش سخت نیست! قضیه ی تالس رو فراموش نکنید!!)

از این لم می شه نتیجه گرفت که اگه دوتا پاره خط به طول های q و r به ما داده شده باشند و یک پاره خط واحد هم داشته باشیم می تونیم پاره خطی به طول q / r رسم کنیم!!

لم 2 : در یک مثلث قائم الزاویه، اگه ارتفاع وارد بر وتر رو رسم کنیم، حاصل ضرب طول دو قطعه ی جدا شده روی وتر برابره با مربع طول ارتفاع وارد بر وتر!

(این هم با تشابه بین دو تا مثلث ثابت می شه!)


حالا اگه لم های بالا رو پذیرفتید، ادامه ی جواب رو بخونید!!!!

سوال در واقع اینه: دو پاره خط پیدا کنید که مجموع طولشون برابر باشه با b / a- و حاصل ضرب طولشون هم برابر باشه با c / a ! چون در هر معادله ی درجه دوم، مجموع ریشه ها برابره با b / a- و حاصل ضرب ریشه ها برابره با c / a !

و اما راه حل! از این جا به بعد برای راحتی فرض کنید b / a = s- و c / a = p (راستی توی این راه حل، فرض بر اینه که ریشه های معادله مثبت هستند! پاره خط با طول منفی که نمی شه رسم کرد!!!!)

طبق لم 1 (بهتره بگم نتیجه ای که از لم 1 گرفتیم!) می تونیم پاره خطی به طول p و همین طور پاره خطی به طول s رسم کنیم!!

حالا پاره خطی به طول رادیکال p رسم می کنیم! این جوری:

پاره خط AB را به طول p + 1 رسم کنید و بعدش یک نیم دایره به قطر AB رسم کنید! نقطه ی C را روی این پاره خط به گونه ای انتخاب کنید که AC = 1 و BC = p و از C عمودی بر AB رسم کنید تا نیم دایره را در نقطه ی D کنه!

چون مثلث ABD قائم الزاویه است و DC هم ارتفاع وارد بر وتره، پس طبق لم 2 طول پاره خط CD برابره با رادیکال p !


حالا پاره خط XY را به طول s رسم کنید! خط d را هم موازیXY و به فاصله ی رادیکال p از این XY رسم کنید! یه نیم دایره هم به قطر XY رسم کنید! فرض کنید نقطه ی Z نقطه ی برخورد نیم دایره با خط d باشه! از Z به XY عمودی کنید تا XY رو در نقطه ی T قطع کنه! می دونیم که:

اولاً XT + YT = s (چون طول پاره خط XY برابر s بود!)

ثانیاً XT * YT = p (چون مثلث XYZ یه مثلث قائم الزاویه است که XY وترشه! طول ارتفاع وارد بر وتر هم برابره با رادیکال p ! در نتیجه طبق لم 2 داریم XT * YT = p )

پس طول پاره خط های XT و YT ریشه های معادله ی درجه دوم ما هستند!!


پی. اس. بد که توضیح ندادم؟!! (کافیه یه کاغذ جلوتون باشه و شکلش رو بکشید!!)

 

[احسان]

پاسخ : یه مسئله ی خفن هندسه یا ...

ببخشید! یه مشکل جالب وجود داره که خود Hiss به من تذکر داد!! برای این که یه معادله ی درجه ی دوم، دو تا ریشه مثبت داشته باشه، لازمه ضرایب a و c هم علامت باشند و علامت b با اون ها متفاوت باشه! یعنی باید a و c مثبت باشند و b منفی! (یا بر عکس!!)

پی. اس. اگه توی سوال گفته بود که معادله دو ریشه ی مثبت داره و طول پاره خط های داده شده با قدر مطلق ضرایب برابره، راه من درست بود!! (مرسی از Hiss!! )