آنالیز فوریه

[ذهن موهومي]

برای تحلیل یک سیستم باید رفتار آن سیستم را بفهمیم. برای اینکار روشهایی وجود دارد که از طریق آنها مشخص میشود خروجی سیستم به یک سیگنال ورودی دلخواه مانند X چیست. یعنی اگر تابع رفتار سیستم مشخص گردد اونوقت میتونیم بگیم خروجی سیستم به هر ورودی دلخواه چیست.
برای اینکار باید ابتدا معادله دیفرانسیل سیستم را بنویسیم و با استفاده از روشهای ریاضی آن معادله را حل نماییم. در ریاضیات برای حل بسیاری از معادلات از توابع متعامد استفاده میکنند. اما تعامد یعنی چی؟

ببینید همونطوری که ما یک بردار در فضای سه بعدی (هندسه اقلیدسی) را بر اساس مجموع سه بردار پایه در سه جهت x و y و z مینویسیم ، توابع رو هم میتونیم بر اساس چند تابع پایه بنویسیم.

مساله مهم اینجاست که اگر سه بردار پایه در جهت x و y و z بر هم عمود باشند و یا با توجه به تعریف تعامد یک فضای متعامد ۳ بعدی را تعریف کنند ما میتوانیم هر برداری در فضای سه بعدی را بر اساس این سه بردار بنویسیم. این کار را ریاضیدانان به فضای توابع تعمیم دادند و با تعریف تعامد توانستند توابعی بیابند که بر هم عمود باشند (با توجه به تعریف تعامد). در یک فضای متعامد میتوان توابع دلخواه را بر اساس مجموع توابع متعامد نوشت. نکته مهم اینست که فضای متعامد طوری تعریف و انتخاب شود که با معادله دیفرانسیل ما تناسب داشته باشد. یعنی اگر ما یک تابع دلخواه از مجموعه توابع متعامد را به سیستم اعمال کنیم در خروجی سیستم همان تابع را دریافت کنیم فقط با تغییر ضرایب. در اینحالت این سیستم هر تابع را در فضای متعامد تغییر شکل نمیدهد. اما چرا این مساله برای ما مهم هست؟

فرض کنید ما یک فضای متعامد داریم و سیگنال ورودی رو بر اساس اون توابع مینویسیم. در خروجی سیستم همان توابع رو داریم که ماهیتشون تغییر نکرده و فقط ضرایبشون عوض شده پس میتونیم بفهمیم این سیستم به ازای هر تابع متعامد چه تغییری در ضرایب ایجاد کرده و تابع سیستم رو بر اساس این تغییر ضرایب به ازای هر تابع مینویسیم.

برای سیستمهای خطی با معادلات مشتقات جزیی میتوان از توابع متعامد سینوسویدال استفاده نمود.

سیستمهای صوتی را در محدوده خطی بودنشان با معادلات مشتقات جزیی مدل میکنند و ما میتوانیم برای درک این سیستمها از توابع سینوسی و کسینوسی استفاده کنیم.

مجموع دو تابع سینوسی و کسینوسی با فرکانس مشخص و با ضرایب دلخواه را میتوان بر اساس یک تابع سینوسی با یک دامنه و یک فاز نوشت.

فرض کنید ما یک سیگنال سینوسی با فرکانس ۱khz و دامنه یک ولت و فاز صفر درجه را به سیستم اعمال کنیم، در خروجی عین سیگنال سینوسی را خواهیم داشت با یک مقدار تضعیف یا تقویت در دامنه و مقداری تاخیر زمانی. برای هر فرکانس این تغییر دامنه و فاز یک مقدار مشخص هست و این تغییرات بر حسب فرکانس یعنی پاسخ دستگاه به توابع متعامد سینوسویدال.

خوب حالا برای تحلیل در حوزه فرکانس از آنالیز فوریه استفاده میکنیم.

آقای فوریه میگه هر تابع دلخواه (البته یه شرایطی هم داره که تو کتابها هست) رو میشه بر اساس مجموع بینهایت تابع سینوسی و کسینوسی با فرکانسهای مختلف نوشت. اندازه دامنه و فاز هر یک از این سینوسویدال ها در هر فرکانسی مقداری مشخص هست. تابعی که برای تابع x به ما دامنه و فاز رو در هر فرکانس میده X مینامیم.

x –> X(jw)

y –> Y(jw)

تابع y همان خروجی سیستم هست و طبق تعریف فوریه میشه تابع تبدیل سیستم رو نوشت :

H(jw)=Y(jw)/X(jw)

H همان تابع تبدیل سیستم هست که بر اساس هر فرکانس یک دامنه و یک فاز دارد و معنی آن اینست سیستم H در هر فرکانس چقدر بر روی دامنه و فاز سیگنال ورودی تاثیر میگذارد.

با دانستن تابع H ما میتوانیم رفتار سیستم را درک نماییم.

 

[ذهن موهومي]

پاسخ : آنالیز فوریه

الان میتونیم یک سیستم خطی رو در حوزه فرکانس با کمک فوریه مدل کنیم. مساله اینجاست که یک کامپوننت مانند یک امپدانس ساده نیست و ما نمیتونیم فقط با یک تابع H سیستم رو مدل کنیم. ما میتونیم یک سیگنال ولتاژ به دو سر بلندگو بدیم و با اندازه گیری جریان پاسخ فرکانسی امپدانس بلندگو رو محاسبه کنیم و یا با تقسیم تابع خروجی ولتاژ بر تابع ورودی در حوزه فرکانس رفتار سیستم رو در انتقال ولتاژ در حالت بی باری (no Load) بررسی کنیم اما یک سیستم در الکترونیک بصورت یک دو قطبی مدل میشه و دوتا ورودی داره و دوتا خروجی بر خلاف یک امپدانس ساده که یک ورودی داره (ولتاژ) و یک خروجی (جریان). اگه سیستمی دو سیگنال ورودی داشته باشه و دو خروجی اونرو بصورت یک دو قطبی با کمک ماتریسها مدل میکنند. انتخاب برای سیگنال ورودی با ماست. مثلا میتونیم ولتاژ های دو ورودی رو سیگنال ورودی و شدت جریانهای در گردش هر ورودی رو سیگنال خروجی انتخاب کنیم تا ماتریس مشخصه سیستم رو بنویسیم. کتاب مدارهای الکتریکی دسور (انتشارات دانشکاه تهران) مرجع خوبی برای مطالعه دو قطبی هاست. با یک ماتریس ۲ در ۲ سیستم مدل میشه و این ماتریس چهار تابع در حوزه فرکانس دارد که همانطور که گفته شد هر تابع دو مشخصه دامنه و فاز دارد. بنابراین هر سیستم بشرط خطی بودن مانند DAC , Pre , Power , … دارای چهار تابع در حوزه فرکانس هست. هر یک از این توابع بخشی از خصوصیات سیستم رو به ما میدهند. در ضمن فراموش نشه برای تست خطی بودن یک دو قطبی باید از جبر ماتریسها استفاده کنیم به این شکل که دو سیگنال مورد تست هر کدام ، یک ماتریس هستند.