من همین اول یه چیز رو بگم ، اونم اینکه واقعا حیفه که همچین تایپیک هایی با استقبال مواجه نمیشن !
حالا من سعی میکنم یکم روشنگری کنم در مورد این پارادوکس برتران تا اون حدی که خودم میدونم ، باشه که مورد توجه واقع بشه :)
مساله در واقع اینکه که یه دایره داریم با شعاع 1 ، یه مثلث متساوی الاضلاع توش محاط میکنیم ، حالا یه وتر به طور تصادفی توی دایره رسم میکنیم احتمال اینکه طول این وتر بزرگتر باشه از از طول ضلع مثلث رو پیدا کنین !
در واقع این مساله 3 تا راه حل کلاسیک داره که هر 3 تاش درستن و در واقع تناقض همینجاست ، من سعی میکنم خلاصه 3 راه حل رو بگم :
1.
بدون اینکه از کلیت مساله چیزی کم بشه فرض کنین یه سر وتر روی راس A از مثلث باشه زاویه ی بین مماس و وتر رو مثل شکل بگیرین تتا اگه تتا بین 0 تا 60 باشه یعنی وتر کوچکتر از ضلعه ، اگه بین 60 تا 120 باشه یعنی وتر بزرگتره و اگه بین 120 تا 180 باشه یعنی وتر کوچکتره و خوب این بدین معنیه که احتمال مورد نظر برابره با یک سوم !
بدون اینکه از کلیت فرض کم بشه فرض کنین وتر مورد نظر افقی باشه ، اگه فاصله ی این وتر از ضلع پایینی کوچکتر یا مساوی یک دوم باشه اونوقت طول وتر کوچکتر از طول ضلع مثلثه و اگه فاصله بین یک دوم و یک باشه یعنی طول ضلع کوچکتره و خوب پس از اینجا مشخصه که احتمال مورد نظر برابره با یک دوم !
دایره ی که سیاه شده توی شکل که دایره ی محاطی مثلثه رو در نظر بگیرین اگه وسط وتر داخل این دایره باشه یعنی طول وتر بزرگتره از طول ضلع مثلث و اگه خارج از دایره باشه یعنی کوچکتره ، پس احتمال مورد نظر میشه نسبت مساحت دایره ی محاطی مثلث به دایره ی بزرگ به راحتی میتونین ببینین که شعاع دایره سیاه عبارته از یک دوم پس نسبت مساحت ها عبارته از پی چهارم به پی که میشه یک چهارم !
بحث نهایی .
خوب ببینین قاعدتا الان براتون سوال پیش اومده که چطور ممکنه یه مساله به 3 تا جواب درست برسه ، در واقع جواب این سوال اینه که اگه با یک فضای احتمال با نامتناهی عضو سرو کار داشته باشیم ( یعنی مساله ای که بینهایت پیش آمد توش وجود داره - مثلا اینجا بینهایت وضعیت برا وتر به تصادف انتخاب شده وجود داره ) بی نهایت راه برای تخصیص یکنواخت احتمال به پیش آمد ها وجود داره !
اما یک نکته جالب اینه که به خاطر وجود همچین پارادوکس هایی نظریه احتمال تا یه مدت طولانی بین ریاضیدان ها خیلی جدی گرفته نشد ، ابزار لازم برای متکی کردن نظریه احتمال به پایه های دقیق با ابداع شاخه ای از ریاضیات به نام "نظریه اندازه " ( که لبگ پایه گذارش بود ) بدست اومد .
اگه به کتاب های پیشرفته یه نگاهی بندازین از این مدل مساله ها خیلی خواهید دید !
به خاطر ویرایش بد متن و وضعیت ظاهری بد متن ببخشید ، با گوشی نمیشد خوب کار کرد واقعا !
)
