کمیت ها،تانسورها،بردارها

[mira]

به نام یگانه جهت بخش هستی​

کمیت ها در فیزیک و تانسورها
در فيزيك، سعي مي كنيم اندازه بگيريم، چون فيزيك كارش ربط دادن اين اندازه گيري ها به همديگر است. اندازه گيري يعني ربط دادن يك واقعيت فيزيكي به يك ساختار (مفهوم)رياضي، يعني اين كه ما چه جوري بايد اين كار را انجام بدهيم. آن چيزي را كه بشود اندازه گيري كرد ر ا كميت فيزيكي مي گوييم. پس بنابراين ساد ه ترين نوع كميت هاي فيزيكي،كميت هايي هستند كه صرفاً با يك عدد نمايش داده مي شوند. تجارب فيزيكي و خواص اعداد حقيقي در رياضيات نشان داده كه اين نوع اعداد كانديداي بسيار مناسبي براي كميت هاي فيزيكي تك عددي هستند، ما به ا ين نوع كميت هاي فيزيكي،كميت هاي نرد ه اي (اسكالر) می گوييم يعني كميتي كه صرفاً با يك عدد حقيقي متناظر است و ما در آزمايشگاه يا جاهاي ديگر با اندازه گيري ارقام اين عدد حقيقي آن را معين مي كنيم. مثلاً ما يك بستة خرما را روي ترازويي قرار مي دهيم و جرم آن را 500 گرم مي خوانيم. اين مقدار كميتی نرده اي است كه به واقعيت فيزيكي جرم آن بستة خرما نسبت مي دهيم .نكته ي مهم اينجاست كه انداز ه گيري جرم بستة خرما به جهتي كه ما آن را انداز ه گيري مي كنيم بستگي ندار د. يعني اگر بسته را روي ترازو در همان نقطه بچرخانيم طبيعتاً مقدار جرم را همان قبلي اندازه مي گيريم يا مثلاً اگر دور ترازو بچرخيم و از جهات مختلف جرم را انداز ه بگيريم نتيجه همواره يك چيز است.
اين از خواص مهم كميت های نرده اي است كه در يك موقعيت مكاني و زماني مشخص مقدار آنها به جهت اندازه گيري آن بستگي ندارد.
اما فيزيكدانها (و البته خيلي اقشار ديگر ) بارها در برخورد با واقعيت هاي مختلف فيزيكي ديده اند كه براي كامل بيان كردن آن واقعيت و يا اتفاق فيزيكي صرفاً بيان يك عدد كافي نيست مثلاً وقتي كه مي خواهيم در مورد حركت يك ماشين صحبت كنيم صرفا ً بيان مقدار سرعت آن مثلاً 70 km/h به اندازه ي كافي حركت ماشين را تشريح نمي كند زيرا اينكه اين ماشين در چه جهتي حركت كند نتايج مختلفي به بار مي آورد. پس براي توصيف بهتر كميت هاي فيزيكي نياز به ربط آنها با ساختارهاي پيشرفته تر رياضي هستیم. مثلاً در اين مورد ما بايد هم مقدار سرعت را عدداً بيان كنيم و هم جهت هندسي آن را. به اين نوع كميت ها، كميت های برداري گويند.
يعني كمیت هايي كه غير از مقدار به جهت نيز برا ي بيان آنها نياز داريم.نكته ي مهم در موردبردارها آن است كه مي بايست در مكان و زماني مشخص داراي مقدار يا شدت و همچنين جهت هندسي باشند يعني حتماً مي بايست در جهات فيزيكي (مكا نها) اين جهت وجود داشته باشد.
تانسورها:
در ریاضی، تانسور آرایه‌ای از اعداد است یعنی یک سری اعداد که به طور خاصی مرتب شده‌اند یعنی در یک جدول (نامحسوس) چیده شده‌اند. در واقع تانسور تعمیمی است از مفاهیم اسکالر، بردار و ماتریس.
تانسور آرایه‌ای است از اعداد که در یک جدول چیده شده‌اند. این جدول در حالت کلی می‌تواند به صورت... N x M x O x P x باشد که حروف بزرگ هر کدام می‌توانند نمایندهٔ یک عدد طبیعی باشند و x نشان دهندهٔ عمل ضرب بین آنهاست. تانسور در ساده ترین حالت می‌تواند یک عضو داشته باشد که به آن اسکالر گوییم. در حالت کمی پیشرفته تر تانسور می‌تواند به صورت بردار باشد. یعنی وقتی شما بردار A را به صورت(x,y,z) نشان می‌دهید در حقیقت یک تانسور دارید. در حالتی باز هم پیشرفته تر تانسور می‌تواند دو بعدی باشد(به صورت ماتریسی) یعنی مثلاً جدول ما 2*2 باشد یعنی دو سطر و دو ستون داشته باشد.
چنین تانسوری دارای ۴ عضو است. به طور کلی تانسورهای دو بعدی و بالاتر از دو بعد را با نام ماتریس هم می‌شناسند. ماتریس‌ها از آن جهت مورد استفاده قرار می‌گیرند که باعث ایجاد نظم بین داده‌های یک مسئله و دسته بندی اطلاعات آن می‌شوند.
بردارهای دو بعدی
فرض کنید بگوییم که حرکت ماشینی 70km/hدر جهت شمال شرقي است. اين توصيف خوب است ولي كامل نيست، يعني از نظر رياضي آن چنان دقيق نيست زيرا شمال شرقي خيلي كلي است. گرچه اطلاعات تقريبي به ما مي دهد ولي يادتان باشد كه ما مي خواهيم تا حد ممكن بيان كميت هایمان را رياضي كنيم. همان طور كه شايد در اين بيان متوجه شده ايد، جهت را ما نسبت به يك راستاي مرجع كه راستاي شمال در نقشه است بيان كرده ايم. پس ما همواره براي بيان جهت يك بردار نيازمند جهت يا جهت هاي مرجعي هستيم. اگر بخواهيم به شكل هندسي يك بردا ر را بيان كنيم مي توانيم شكلي بكشيم كه برداررا پاره خطي نمايش دهد كه در يك سمت آن فلشي براي نمايش جهت وجود دارد و مقدار آن نيز طول اين پاره خط باشد (نسبت به يك مقدار طول واحد) اين شيو ه اي قديمي براي بيان بردارها است . در اين شيوه مي توانيم روي كاغذ با فرض يك جهت مرجع و تعيين يك پاره خط جهت دار مانند شكل يك بردار را معين كنيم. مشكل در اين شيوه در زماني پيش مي آيد كه هيچ كاغذي قادر به رسم يك راستاي سه بعدي به معناي واقعي (نه آنچه فقط سه بعدي ديده بشو د) نيست. و همچنين در اين شيوه راستاي خط ها در يك صفحه المان رياضي فرض شده كه آنقدرها هم دقيق نيست و از همه مهمتر در انداز ه گيري عملي نميتوان آن را مستقيماً اندازه گرفت.
بردارها در فضای سه بعدی
فضاي واقعي فيزيكي ما، فضاي مكاني سه بعدي است. در اين فضا بيان بردار به عنوان پار ه خط جهت دار نيازمند تعميم موارد دو بعدي است. در اكثر موارد تعاريف و قضاياي دو بعدي را به سادگي می توان به فضاي سه بعدي تعميم داد.بيان كارتزين بردار مكان سه بعدي شامل طول، عرض، ارتفاع (يا عمق) نقطه مورد نظر نسبت به راستاهاي مرجع بيان مي شود. يعني:
A= (Ax ,Ay ,Az )
(البته نشان بردار روی بردارها قابل رسم نبودند؛ببخشید.)
كه هر كدام مؤلفه A در راستاهاي oy ، ox و oz هستند. بردار يكه راستاي oz را k مي ناميم:
A= Ax i+Ay j+Az k
اندازة بردار در اين حالت برابر است با جذر مجموع مربعات مولفه های A.
در مورد جمع برداري نيز مانند بردار های دوبعدی عمل می کنیم با این تفاوت که مولفه ی اضافی z را نیز باید در نظر بگیریم.