بازی با معادله ی درجه سه!

[neda.m]

امروز این سوال (بازی) رو سر کلاس حل کردیم، جالب اومد به نظرم!
معادله ی x^3 + ...x^2 + ...x + ... = 0 داده شده است (سه نقطه ها جای خالی هستن). دو نفر به طریق زیر بازی می کنند:
نفر اول یک عدد درست (صحیح!) مخالف صفر در یکی از جاهای خالی می نویسد. نفر دوم نیز یک عدد درست مخالف صفر در یکی از دوجای باقی مانده می نویسد. بالاخره مجدداً نفر اول با نوشتن یک عدد درست مخالف صفر، جای خالی باقی مانده را پر می کند. ثابت کنید نفر اول می تواند با انتخاب مناسب دو عددی که خواهد نوشت، بازی را به گونه ای اداره کند که این معادله دارای سه ریشه ی درست مخالف صفر باشد.

حالا اولش پیدا کنین که چه جوری این حالت می شه این دو عدد رو انتخاب کرد، بعد اثباتش هم می کنیم.

 

[armita]

پاسخ : بازی با معادله ی درجه سه!

چه جالب ! این سوال جزو تمرین های المپیاد کامپیوتر بود
سوال جالبیه

 

[Hiss!!!]

پاسخ : بازی با معادله ی درجه سه!

امروز این سوال (بازی) رو سر کلاس حل کردیم، جالب اومد به نظرم!
معادله ی x^3 + ...x^2 + ...x + ... = 0 داده شده است (سه نقطه ها جای خالی هستن). دو نفر به طریق زیر بازی می کنند:
نفر اول یک عدد درست (صحیح!) مخالف صفر در یکی از جاهای خالی می نویسد. نفر دوم نیز یک عدد درست مخالف صفر در یکی از دوجای باقی مانده می نویسد. بالاخره مجدداً نفر اول با نوشتن یک عدد درست مخالف صفر، جای خالی باقی مانده را پر می کند. ثابت کنید نفر اول می تواند با انتخاب مناسب دو عددی که خواهد نوشت، بازی را به گونه ای اداره کند که این معادله دارای سه ریشه ی درست مخالف صفر باشد. حالا اولش پیدا کنین که چه جوری این حالت می شه این دو عدد رو انتخاب کرد، بعد اثباتش هم می کنیم

سلام.خسته نباشین.من میگم فرض کنید ریشه های معادله رو 1-و 1 و k بگیریم.پس معادله جدید به صور x^2 - x-k در خوهد آمد.حالا اگه بیایم و این عبلرت تجزه شده رو باز کنبم خواهیم داشت x^3-kx^2-x+k . حالا استراتژی بازی رو این جوری طراحی میکنیم.میگیم نفر اول ضریب x را برابر 1- قرار بده.اون وقت نفر دوم هر عدد صحیحی رو که تووی یکی از جاهای باقیمانده گذاشت. ما هم قرینه ی اوون عدد رو توی آخرین جای باقی مانده قرار میدیم و در واقع کاری میکنیم که ریشه های معادله حتما سه عدد صحیح 1-و1 و k بشن که خوب این ها هم غیر صفر هستند. به همین سادگ ... به همین خوشمزگی ...(البته تبلیغ نشه هاااااا )
ممنون از مسءله ی خوبتون ...

 

[mehdi.me]

پاسخ : بازی با معادله ی درجه سه!

مهدی جان راحت فکر کنم مشکل داره.فرض کن تو ضریب x رو 1- قرار دادی. حالا اگر نفر دوم یکی از ضریب های دیگه رو 1 یا 1- بذاره اونوقت تو باید آخرین جای خالی رو 1- یا 1 قرار بدی که معادله دارای یک ریشه ساده و یک ریشه مضاعف می شه.

 

[Hiss!!!]

پاسخ : بازی با معادله ی درجه سه!

مهدی جان راحت فکر کنم مشکل داره.فرض کن تو ضریب x رو 1- قرار دادی. حالا اگر نفر دوم یکی از ضریب های دیگه رو 1 یا 1- بذاره اونوقت تو باید آخرین جای خالی رو 1- یا 1 قرار بدی که معادله دارای یک ریشه ساده و یک ریشه مضاعف می شه.

حالا ما که همه ی دور ها رو نباید ببریم !!! یه کم میدون رو بدیم به جوون تر ها !!!!! (از راهنماییت ممنون . کسی میتونه راه حلم رو درست کنه ؟)

 

[mehdi.me]

پاسخ : بازی با معادله ی درجه سه!

فکر نکنم به این راحتیا باشه.من خودم از یه راه دیگه رفتم که همش 3 تا ریشه می داد،ریشه هاش هم محدود نبودند.اما نفر دوم می تونه کار رو خراب بکنه.چون یکی از ریشه ها مضاعف میشه.من الان راهمو بگم؟فقط مثالشو می زنم:
1- x*3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0 . الان ریشه های این 2،2- و 3 هست.
اما اگر شخص دوم انتخابش هوشمندانه باشه،مثل زیر میشه.
2- x^3 + 2x^2 - 4x -8 = 0. ببینید الان ربشه هاش 2،2و 2- هست.یعنی یه ریشه مضاعف.
طراح های سوال 3 ریشه باید همه ساده(متمایز)باشند؟