دنباله ی فیبوناتچی

  • شروع کننده موضوع
  • #1

sampadcity.com

کاربر فوق‌حرفه‌ای
ارسال‌ها
1,373
امتیاز
121
شهر
قم
توضیح اولیه

دنباله ی فیبوناچی یکی از معروف ترین و جذاب ترین دنباله های عددی است. الگوهای بسیاری در آن وجود دارد و آن را در بسیاری از پدیده ها می توان مشاهده کرد.
به همین دلیل راههای بسیاری برای ایجاد انگیزه در دانش آموزان برای مطالعه ی این دنباله وجود دارد. اما یکی از جالبترین راه‌ها برای معرفی دنباله ی فیبوناچی در کلاس، طرح پرسشی است که اولین بار توسط شخصی که این دنباله به نامش مشهور شده است – یعنی لئوناردوی پیزا، معروف به فیبوناچی – مطرح شده است!

مساله این است: فیبوناچی می‌خواست بداند اگر با یک جفت نر و ماده از خرگوش‌هایی که عادت تولیدمثلی نسبتاً عجیبی دارند (این عادت را خواهیم گفت) شروع کنیم، تعداد جفت خرگوش‌هایی که در هر ماه خواهیم داشت چند تاست. عادت عجیب این خرگوش‌ها این است که بعد از اینکه به سن دو ماهگی رسیدند، یک جفت نر و ماده‌ی دیگر به‌ دنیا می‌آورند، که آنها هم به نوبه‌ی خود در سن دو ماهگی جفتی نر و ماده به دنیا می‌آورند، که این جفت هم همین رفتار را دارند.
ضمناً خرگوش‌هایی که دوماهه یا مسن‌تر باشند، هر ماه یک جفت به‌ دنیا می‌آورند. اگر در ابتدا یک جفت داشته‌ باشیم، در پایان ماه دوم، دو جفت خواهیم داشت، و ماه بعد سه جفت (از جفت اول یک جفت به دنیا خواهد آمد و جفت دیگر هنوز دو ماه ندارد و به‌همین دلیل، بچه‌دار نمی‌شود).
در پایان ماه چهارم، نسل‌های اول و دوم هریک جفتی به دنیا خواهند آورد، و سه جفت هم از قبل داریم. در نتیجه، تعداد جفت‌ها برابر 5 خواهد بود. تعداد جفت‌ها بعد از ماه‌های پی‌درپی به صورت این دنباله است: 1،1،2،3،5،8،13،21
اهداف











* دانش‌آموز طیّ این فعّالیّت
* با دنباله‌ی فیبوناچی آشنا می‌شوند.
* با تعمیم‌هایی از دنباله‌ی فیبوناچی معمولی آشنا می‌شود.
* همگرایی نسبت جملات متوالی دنباله‌‌ی فیبوناچی را آزمایش می کنند و به این ترتیب با مفهوم همگرایی عددی آشنا می‌شود.

وسایل لازم

* فعالیت دنباله‌ی فیبوناچی

روش تدریس
بهتر است در یک جلسه به معرفی دنباله ی فیبوناچی و شواهد آن در طبیعت بپردازید. سپس از دانش آموزان بخواهید 10 جمله ی اول این دنباله را بنویسند و نسبت هر عدد به عدد قبلی را پیدا کنند. با این سوال کلاس را ادامه دهید: آیا نسبت جمله های متوالی، عدد ثابتی است؟ آیا این نسبت به عدد ثابتی میل می کند؟
برای دانش آموزان توضیح دهید که فعالیت دنباله ی فیبوناچی را در اختیار دانش آموزان قرار دهید.
در این فعالیت دنباله‌ی فیبوناچی و دنباله‌ای که از فهرست کردن نسبت جمله‌های متوالی به‌دست می‌آید نشان داده‌ شده‌اند.
از دانش آموزان بخواهید با استفاده از دکمه‌های جهت، در دنباله حرکت کنند و به‌ازای مقدارهای بزرگ‌تر و بزرگ‌تر مانند n، نسبت
20070620150825234.jpg
را با نسبت طلایی، یعنی مقایسه نمایند.( توجه کنید که تقریباً برابر است با 1.68033988)
دانش آموزان می توانند با وارد کردن اعداد دیگری به جز 1 به جای F1 و F2 در فعالیت، دنباله های دیگری بسازند و همگرایی نسبت
20070620150825234.jpg
به یک عدد را در این دنباله ها نیز بررسی کنند.
 

closeman

کاربر فوق‌حرفه‌ای
ارسال‌ها
1,078
امتیاز
6,752
شهر
مشهد
دانشگاه
ازاد:-""
رشته دانشگاه
مهندسی معماری
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

دنباله ی فیبوناتچی یا فیبوناچی درست است؟!؟!؟! :-?
بچه ها کسی یه کتاب راجع به همین دنباله ی فیبوناچی نمی شناسه؟من خودم تا دانشگاه فردوسی دنبالش رفتم....اما کتاب هایی که بود خیلی مختصر و در حد چیزایی بود که توی نت بود مطلب داشت یه کتاب دیگه هم بود که زبان اصلی بود....
 

soheilkahkeshan

کاربر حرفه‌ای
ارسال‌ها
351
امتیاز
358
نام مرکز سمپاد
شهيد بهشتي بروجرد
شهر
بروجرد
دانشگاه
علم و صنعت تهران
رشته دانشگاه
برق الکترونیک
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

*همگرايي حاصل تقسيم دو جمله متوالي اين دنباله به ريشه بزرگتر x^2-x-1=0 است .

*مجموع n جمله اول برابر دو برابر جمله آخر به علاوه يكي مانده به آخر منهاي يك است.

*معادلهٔ خطی به صورت y=mx در نظر می‌گیریم. m به معنی شیب خط است و یک عدد حقیقی است. می‌دانیم اگر m گنگ باشد، خط y=mx از هیچ نقطه‌ای با مختصات صحیح عبور نخواهد کرد. در واقع این خط امکان ندارد از نقطهای (جز مبدأ) عبور کند که هم x و هم y آن عدد صحیح باشند. حال به جای m قرار می‌دهیمφ. یعنی خط y=φx را در نظر می‌گیریم. چون φ هم یک عدد گنگ است، این خط از هیچ نقطه‌ای با x و y صحیح (جز مبدأ) عبور نخواهد کرد. به همین دلیل نقطه‌هایی را با x و y صحیح در نظر می‌گیریم که کمترین فاصله را از این خط دارند. ابتدا به نظر می‌رسد نقطهٔ (۱، ۱) کمترین فاصله را با این خط دارد. ولی فاصلهٔ نقطهٔ (۲، ۱) از این خط کمتر است. نقطهٔ (۳، ۲) فاصلهٔ کمتری با این خط دارد. همچنین فاصلهٔ نقطهٔ (۵، ۳) از این هم کمتر است. این نقاط به همین ترتیب ادامه خواهند یافت و در زیر چند نقطهٔ بعدی را که فاصله شان از این خط کمتر می‌شود را می‌بینید:...،(۵۵، ۳۴)، (۳۴، ۲۱)، (۲۱، ۱۳)، (۱۳، ۸)، (۸، ۵)، (۵، ۳)، (۳، ۲)، (۲، ۱)، (۱، ۱)
صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی است. با کمی دقت در مختصات این نقاط درخواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می‌کنند. این نقاط را نقاط فیبوناچی می‌نامند.


اگر خواستيد بيشتر توضيح مي دهم...
 

T@RAN€H

کاربر حرفه‌ای
ارسال‌ها
359
امتیاز
219
نام مرکز سمپاد
فرزانگان 1 Shz
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

به نقل از کلــــــــــــــوز :
دنباله ی فیبوناتچی یا فیبوناچی درست است؟!؟!؟! :-?
بچه ها کسی یه کتاب راجع به همین دنباله ی فیبوناچی نمی شناسه؟من خودم تا دانشگاه فردوسی دنبالش رفتم....اما کتاب هایی که بود خیلی مختصر و در حد چیزایی بود که توی نت بود مطلب داشت یه کتاب دیگه هم بود که زبان اصلی بود....
فکرنکنم اون قدرم طلب داشته باشه که یه کاتاب واسش بنویسن!
 

mohammadreza7589

کاربر نیمه‌فعال
ارسال‌ها
8
امتیاز
9
نام مرکز سمپاد
استعداد های درخشان فلاحی
شهر
فارس - فسا
دانشگاه
علوم کشاورزی ساری
رشته دانشگاه
ماشین الات صنایع غذایی
سوال: دنباله ی فیبوناتچی

سلام من یه سوال داشتم از بروبچه ها آیا میتوان برای دنباله فیبوناتچی یک جمله عمومی غیر بازگشتی پیدا کرد؟؟؟؟؟


ممنون میشم اگه هر چه سریع تر به سوالم پاسخ بدید.
 

amin.14

کاربر فوق‌فعال
ارسال‌ها
92
امتیاز
77
نام مرکز سمپاد
دبیرستان علامه حلی
شهر
تهران
دانشگاه
هر جا خدا بخواهد!
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

به نقل از سکو تـ ـــ. :
فکرنکنم اون قدرم طلب داشته باشه که یه کاتاب واسش بنویسن!
اتفاقا...
شما این فیلم رو ببین.در این آهنگ های بچه ها هست دیم دیم دارام دارام دیم و این حرفا هم دیده شده این دنباله.کلا دنباله ی خفنیه.

به نقل از mohammadreza7589 :
سلام من یه سوال داشتم از بروبچه ها آیا میتوان برای دنباله فیبوناتچی یک جمله عمومی غیر بازگشتی پیدا کرد؟؟؟؟؟


ممنون میشم اگه هر چه سریع تر به سوالم پاسخ بدید.

خب کار سختیه اما اگه درجه ی معادله رو به بی نهایت میل بدیم فک کنم میشه. مثلا این درجه 6 که با R2= 0.9999 کشیده که خیلی خوبه:

59716358460784742251.png
 

AminEE

کاربر فعال
ارسال‌ها
30
امتیاز
217
نام مرکز سمپاد
شهید اژه ای
شهر
اصفهان
مدال المپیاد
ریاضی - فیزیک - شیمی
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

به نقل از mohammadreza7589 :
سلام من یه سوال داشتم از بروبچه ها آیا میتوان برای دنباله فیبوناتچی یک جمله عمومی غیر بازگشتی پیدا کرد؟؟؟؟؟


ممنون میشم اگه هر چه سریع تر به سوالم پاسخ بدید.

بله، جواب غیر بازگشتی داره. جواب غیربازگشتیش را می تونی تو ویکیپدیا پیدا کنی در لینک زیر
http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number
 

mohammadreza7589

کاربر نیمه‌فعال
ارسال‌ها
8
امتیاز
9
نام مرکز سمپاد
استعداد های درخشان فلاحی
شهر
فارس - فسا
دانشگاه
علوم کشاورزی ساری
رشته دانشگاه
ماشین الات صنایع غذایی
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

به نقل از Discovery :
بله، جواب غیر بازگشتی داره. جواب غیربازگشتیش را می تونی تو ویکیپدیا پیدا کنی در لینک زیر
http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number

شرمنده من چون زبانم خیلی خوب نیست نتونستم پیدا کنم لطف میکنی برام بنویسیش؟
 

tinaradvand

کاربر حرفه‌ای
ارسال‌ها
325
امتیاز
3,075
نام مرکز سمپاد
فرزانگان 3
شهر
تهران
مدال المپیاد
نقره دوره 11 المپیاد نجوم و اخترفیزیک
دانشگاه
شریف
رشته دانشگاه
عمران
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

فکر کنم یه دنباله هندسیه و همون جوری که توی لینک بود با این جمله عمومی
5992591704ae747ece79e8808dcadd63.png

که فی همون عدد طلاییه !
 

ehsan-mokhtarian

کاربر فوق‌فعال
ارسال‌ها
104
امتیاز
361
نام مرکز سمپاد
علامه حلی 1
شهر
تهران
مدال المپیاد
نقره ریاضی 1391 طلا ریاضی 1392
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

به نقل از &&موذی دابدرگ&& :
فکر کنم یه دنباله هندسیه و همون جوری که توی لینک بود با این جمله عمومی
5992591704ae747ece79e8808dcadd63.png

که فی همون عدد طلاییه !
صورتش شبیه ولی این نیست ( دنباله هندسی هم نیست!!!(همون چیزی هم که نوشتین هندسی نیست که)) صورت درست:
gif.latex
 

Ali Monsefi

کاربر فعال
ارسال‌ها
73
امتیاز
111
نام مرکز سمپاد
وات؟
شهر
تهران
مدال المپیاد
مدال نقره‌ی المپیاد ریاضی کشوری ۹۲
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

رفیق! درست نوشته بود دیگه!
 

ehsan-mokhtarian

کاربر فوق‌فعال
ارسال‌ها
104
امتیاز
361
نام مرکز سمپاد
علامه حلی 1
شهر
تهران
مدال المپیاد
نقره ریاضی 1391 طلا ریاضی 1392
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

به نقل از M. Honari :
رفیق! درست نوشته بود دیگه!
:D راست می گی ... درست بود (به ظاهرش نمی خورد این همون باشه ولی این دو تا برابرند :D)
 

king.nader

آراس.نامه (Mr. Darcy)
ارسال‌ها
751
امتیاز
2,877
نام مرکز سمپاد
علامه حلی (1) / هاشمی نژاد (1)
شهر
تهران / مشهد
سال فارغ التحصیلی
1393
مدال المپیاد
المپ فیزیک بودم که نیمهِ راه، کفشامو آویختم نمیدونم چرا!
دانشگاه
فردوسی مشهد
رشته دانشگاه
« مهندسی صنایع و سیستم ها »
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

به نقل از ehsan-mokhtarian :
صورتش شبیه ولی این نیست ( دنباله هندسی هم نیست!!!(همون چیزی هم که نوشتین هندسی نیست که)) صورت درست:
gif.latex

خب اینهم همونه دگ! خود لینک ویکی توضیحشو داده در ادامه! یک به اصافه رادیکال پنج دوم که نسبت طلایی هست، اون منفیِ نسبت طلایی بتوان منفی n هم میشه همون که شما در پرانتز دوم نوشتی!!

این عبارت هم کلش، از حدِ نسبت هر جمله فیبو به قبلیش بدست میاد که = نسبت طلایی.


هردو خلاصه یه چیز نوشتین!! (;

.
 

ehsan-mokhtarian

کاربر فوق‌فعال
ارسال‌ها
104
امتیاز
361
نام مرکز سمپاد
علامه حلی 1
شهر
تهران
مدال المپیاد
نقره ریاضی 1391 طلا ریاضی 1392
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

دوباره می گم درسته نکته این بود:
gif.latex

درباره ی این که حد نسبت دو جمله ی متوالی فیبوناتچی می شه عدد طلایی یه چی بگم : این نسبت برابر همگراهای کسر مسلسل [...,1,1,1] میشه و می دونیم دنباله ی همگرا های یک کسر مسلسل به خود کسر مسلسل میل می کنه (البته این بدیهی نیست و حدوده 5-6 صفحه مقدمه واسه اثباتش نیاز داره) و تو این حالت خاص این کسر مسلسل همون عدد طلایی هست :D
 

niyayesh

کاربر فوق‌فعال
ارسال‌ها
132
امتیاز
158
نام مرکز سمپاد
فرزانگان امين2
شهر
اصفهان
دانشگاه
ایشالا شریف!
رشته دانشگاه
ایشالا الکترونیک وهوش مصنو
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

بچه ها یه سوال اگه ما تواین فرمولnروبزاریم،جمله ی nام رو هم به ما میده اما یه سوال فرمولی وجودداره که بدون عددفی باشه واین کارایی رو داشته باشه؟؟؟؟ :-/ :-/
 

sara.speed

کاربر فعال
ارسال‌ها
34
امتیاز
36
نام مرکز سمپاد
فرزانگان 10
شهر
تهران
مدال المپیاد
......
دانشگاه
نرفتم هنو خو
رشته دانشگاه
خو اینم نمیدونم
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

به نقل از ehsan-mokhtarian :
دوباره می گم درسته نکته این بود:
gif.latex

درباره ی این که حد نسبت دو جمله ی متوالی فیبوناتچی می شه عدد طلایی یه چی بگم : این نسبت برابر همگراهای کسر مسلسل [...,1,1,1] میشه و می دونیم دنباله ی همگرا های یک کسر مسلسل به خود کسر مسلسل میل می کنه (البته این بدیهی نیست و حدوده 5-6 صفحه مقدمه واسه اثباتش نیاز داره) و تو این حالت خاص این کسر مسلسل همون عدد طلایی هست :D
آقا شما همونی نیستی که امسال رفتی تو تیم؟
 

parto1020

کاربر نیمه‌فعال
ارسال‌ها
19
امتیاز
26
نام مرکز سمپاد
فرزانگان
شهر
نهاوند
پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

به نقل از Tina Radvand :
فکر کنم یه دنباله هندسیه و همون جوری که توی لینک بود با این جمله عمومی
5992591704ae747ece79e8808dcadd63.png

که فی همون عدد طلاییه !

عدد طلایی چیه؟؟؟
 
بالا