دنباله ی فیبوناتچی

[sampadcity.com]

توضیح اولیه

دنباله ی فیبوناچی یکی از معروف ترین و جذاب ترین دنباله های عددی است. الگوهای بسیاری در آن وجود دارد و آن را در بسیاری از پدیده ها می توان مشاهده کرد.
به همین دلیل راههای بسیاری برای ایجاد انگیزه در دانش آموزان برای مطالعه ی این دنباله وجود دارد. اما یکی از جالبترین راه‌ها برای معرفی دنباله ی فیبوناچی در کلاس، طرح پرسشی است که اولین بار توسط شخصی که این دنباله به نامش مشهور شده است – یعنی لئوناردوی پیزا، معروف به فیبوناچی – مطرح شده است!

مساله این است: فیبوناچی می‌خواست بداند اگر با یک جفت نر و ماده از خرگوش‌هایی که عادت تولیدمثلی نسبتاً عجیبی دارند (این عادت را خواهیم گفت) شروع کنیم، تعداد جفت خرگوش‌هایی که در هر ماه خواهیم داشت چند تاست. عادت عجیب این خرگوش‌ها این است که بعد از اینکه به سن دو ماهگی رسیدند، یک جفت نر و ماده‌ی دیگر به‌ دنیا می‌آورند، که آنها هم به نوبه‌ی خود در سن دو ماهگی جفتی نر و ماده به دنیا می‌آورند، که این جفت هم همین رفتار را دارند.
ضمناً خرگوش‌هایی که دوماهه یا مسن‌تر باشند، هر ماه یک جفت به‌ دنیا می‌آورند. اگر در ابتدا یک جفت داشته‌ باشیم، در پایان ماه دوم، دو جفت خواهیم داشت، و ماه بعد سه جفت (از جفت اول یک جفت به دنیا خواهد آمد و جفت دیگر هنوز دو ماه ندارد و به‌همین دلیل، بچه‌دار نمی‌شود).
در پایان ماه چهارم، نسل‌های اول و دوم هریک جفتی به دنیا خواهند آورد، و سه جفت هم از قبل داریم. در نتیجه، تعداد جفت‌ها برابر 5 خواهد بود. تعداد جفت‌ها بعد از ماه‌های پی‌درپی به صورت این دنباله است: 1،1،2،3،5،8،13،21
اهداف











* دانش‌آموز طیّ این فعّالیّت
* با دنباله‌ی فیبوناچی آشنا می‌شوند.
* با تعمیم‌هایی از دنباله‌ی فیبوناچی معمولی آشنا می‌شود.
* همگرایی نسبت جملات متوالی دنباله‌‌ی فیبوناچی را آزمایش می کنند و به این ترتیب با مفهوم همگرایی عددی آشنا می‌شود.

وسایل لازم

* فعالیت دنباله‌ی فیبوناچی

روش تدریس
بهتر است در یک جلسه به معرفی دنباله ی فیبوناچی و شواهد آن در طبیعت بپردازید. سپس از دانش آموزان بخواهید 10 جمله ی اول این دنباله را بنویسند و نسبت هر عدد به عدد قبلی را پیدا کنند. با این سوال کلاس را ادامه دهید: آیا نسبت جمله های متوالی، عدد ثابتی است؟ آیا این نسبت به عدد ثابتی میل می کند؟
برای دانش آموزان توضیح دهید که فعالیت دنباله ی فیبوناچی را در اختیار دانش آموزان قرار دهید.
در این فعالیت دنباله‌ی فیبوناچی و دنباله‌ای که از فهرست کردن نسبت جمله‌های متوالی به‌دست می‌آید نشان داده‌ شده‌اند.
از دانش آموزان بخواهید با استفاده از دکمه‌های جهت، در دنباله حرکت کنند و به‌ازای مقدارهای بزرگ‌تر و بزرگ‌تر مانند n، نسبت

را با نسبت طلایی، یعنی مقایسه نمایند.( توجه کنید که تقریباً برابر است با 1.68033988)
دانش آموزان می توانند با وارد کردن اعداد دیگری به جز 1 به جای F1 و F2 در فعالیت، دنباله های دیگری بسازند و همگرایی نسبت

به یک عدد را در این دنباله ها نیز بررسی کنند.

 

[closeman]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

دنباله ی فیبوناتچی یا فیبوناچی درست است؟!؟!؟!
بچه ها کسی یه کتاب راجع به همین دنباله ی فیبوناچی نمی شناسه؟من خودم تا دانشگاه فردوسی دنبالش رفتم....اما کتاب هایی که بود خیلی مختصر و در حد چیزایی بود که توی نت بود مطلب داشت یه کتاب دیگه هم بود که زبان اصلی بود....

 

[soheilkahkeshan]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

*همگرايي حاصل تقسيم دو جمله متوالي اين دنباله به ريشه بزرگتر x^2-x-1=0 است .

*مجموع n جمله اول برابر دو برابر جمله آخر به علاوه يكي مانده به آخر منهاي يك است.

*معادلهٔ خطی به صورت y=mx در نظر می‌گیریم. m به معنی شیب خط است و یک عدد حقیقی است. می‌دانیم اگر m گنگ باشد، خط y=mx از هیچ نقطه‌ای با مختصات صحیح عبور نخواهد کرد. در واقع این خط امکان ندارد از نقطهای (جز مبدأ) عبور کند که هم x و هم y آن عدد صحیح باشند. حال به جای m قرار می‌دهیمφ. یعنی خط y=φx را در نظر می‌گیریم. چون φ هم یک عدد گنگ است، این خط از هیچ نقطه‌ای با x و y صحیح (جز مبدأ) عبور نخواهد کرد. به همین دلیل نقطه‌هایی را با x و y صحیح در نظر می‌گیریم که کمترین فاصله را از این خط دارند. ابتدا به نظر می‌رسد نقطهٔ (۱، ۱) کمترین فاصله را با این خط دارد. ولی فاصلهٔ نقطهٔ (۲، ۱) از این خط کمتر است. نقطهٔ (۳، ۲) فاصلهٔ کمتری با این خط دارد. همچنین فاصلهٔ نقطهٔ (۵، ۳) از این هم کمتر است. این نقاط به همین ترتیب ادامه خواهند یافت و در زیر چند نقطهٔ بعدی را که فاصله شان از این خط کمتر می‌شود را می‌بینید:...،(۵۵، ۳۴)، (۳۴، ۲۱)، (۲۱، ۱۳)، (۱۳، ۸)، (۸، ۵)، (۵، ۳)، (۳، ۲)، (۲، ۱)، (۱، ۱)
صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی است. با کمی دقت در مختصات این نقاط درخواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می‌کنند. این نقاط را نقاط فیبوناچی می‌نامند.


اگر خواستيد بيشتر توضيح مي دهم...

 

[T@RAN€H]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

دنباله ی فیبوناتچی یا فیبوناچی درست است؟!؟!؟!
بچه ها کسی یه کتاب راجع به همین دنباله ی فیبوناچی نمی شناسه؟من خودم تا دانشگاه فردوسی دنبالش رفتم....اما کتاب هایی که بود خیلی مختصر و در حد چیزایی بود که توی نت بود مطلب داشت یه کتاب دیگه هم بود که زبان اصلی بود....

فکرنکنم اون قدرم طلب داشته باشه که یه کاتاب واسش بنویسن!

 

[mohammadreza7589]

سوال: دنباله ی فیبوناتچی

سلام من یه سوال داشتم از بروبچه ها آیا میتوان برای دنباله فیبوناتچی یک جمله عمومی غیر بازگشتی پیدا کرد؟؟؟؟؟


ممنون میشم اگه هر چه سریع تر به سوالم پاسخ بدید.

 

[amin.14]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

فکرنکنم اون قدرم طلب داشته باشه که یه کاتاب واسش بنویسن!

اتفاقا...
شما این فیلم رو ببین.در این آهنگ های بچه ها هست دیم دیم دارام دارام دیم و این حرفا هم دیده شده این دنباله.کلا دنباله ی خفنیه.

سلام من یه سوال داشتم از بروبچه ها آیا میتوان برای دنباله فیبوناتچی یک جمله عمومی غیر بازگشتی پیدا کرد؟؟؟؟؟


ممنون میشم اگه هر چه سریع تر به سوالم پاسخ بدید.

خب کار سختیه اما اگه درجه ی معادله رو به بی نهایت میل بدیم فک کنم میشه. مثلا این درجه 6 که با R2= 0.9999 کشیده که خیلی خوبه:

 

[AminEE]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

سلام من یه سوال داشتم از بروبچه ها آیا میتوان برای دنباله فیبوناتچی یک جمله عمومی غیر بازگشتی پیدا کرد؟؟؟؟؟


ممنون میشم اگه هر چه سریع تر به سوالم پاسخ بدید.

بله، جواب غیر بازگشتی داره. جواب غیربازگشتیش را می تونی تو ویکیپدیا پیدا کنی در لینک زیر
http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number

 

[mohammadreza7589]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

بله، جواب غیر بازگشتی داره. جواب غیربازگشتیش را می تونی تو ویکیپدیا پیدا کنی در لینک زیر
http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number

شرمنده من چون زبانم خیلی خوب نیست نتونستم پیدا کنم لطف میکنی برام بنویسیش؟

 

[tinaradvand]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

فکر کنم یه دنباله هندسیه و همون جوری که توی لینک بود با این جمله عمومی

که فی همون عدد طلاییه !

 

[ehsan-mokhtarian]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

فکر کنم یه دنباله هندسیه و همون جوری که توی لینک بود با این جمله عمومی

که فی همون عدد طلاییه !

صورتش شبیه ولی این نیست ( دنباله هندسی هم نیست!!!(همون چیزی هم که نوشتین هندسی نیست که)) صورت درست:

 

[Ali Monsefi]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

رفیق! درست نوشته بود دیگه!

 

[ehsan-mokhtarian]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

رفیق! درست نوشته بود دیگه!

راست می گی ... درست بود (به ظاهرش نمی خورد این همون باشه ولی این دو تا برابرند )

 

[king.nader]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

صورتش شبیه ولی این نیست ( دنباله هندسی هم نیست!!!(همون چیزی هم که نوشتین هندسی نیست که)) صورت درست:

خب اینهم همونه دگ! خود لینک ویکی توضیحشو داده در ادامه! یک به اصافه رادیکال پنج دوم که نسبت طلایی هست، اون منفیِ نسبت طلایی بتوان منفی n هم میشه همون که شما در پرانتز دوم نوشتی!!

این عبارت هم کلش، از حدِ نسبت هر جمله فیبو به قبلیش بدست میاد که = نسبت طلایی.


هردو خلاصه یه چیز نوشتین!!

.

 

[ehsan-mokhtarian]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

دوباره می گم درسته نکته این بود:

درباره ی این که حد نسبت دو جمله ی متوالی فیبوناتچی می شه عدد طلایی یه چی بگم : این نسبت برابر همگراهای کسر مسلسل [...,1,1,1] میشه و می دونیم دنباله ی همگرا های یک کسر مسلسل به خود کسر مسلسل میل می کنه (البته این بدیهی نیست و حدوده 5-6 صفحه مقدمه واسه اثباتش نیاز داره) و تو این حالت خاص این کسر مسلسل همون عدد طلایی هست

 

[niyayesh]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

بچه ها یه سوال اگه ما تواین فرمولnروبزاریم،جمله ی nام رو هم به ما میده اما یه سوال فرمولی وجودداره که بدون عددفی باشه واین کارایی رو داشته باشه؟؟؟؟

 

[sara.speed]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

دوباره می گم درسته نکته این بود:

درباره ی این که حد نسبت دو جمله ی متوالی فیبوناتچی می شه عدد طلایی یه چی بگم : این نسبت برابر همگراهای کسر مسلسل [...,1,1,1] میشه و می دونیم دنباله ی همگرا های یک کسر مسلسل به خود کسر مسلسل میل می کنه (البته این بدیهی نیست و حدوده 5-6 صفحه مقدمه واسه اثباتش نیاز داره) و تو این حالت خاص این کسر مسلسل همون عدد طلایی هست

آقا شما همونی نیستی که امسال رفتی تو تیم؟

 

[parto1020]

پاسخ : دنباله ی فیبوناتچی

فکر کنم یه دنباله هندسیه و همون جوری که توی لینک بود با این جمله عمومی

که فی همون عدد طلاییه !

عدد طلایی چیه؟؟؟