پاسخ : قانون گاوس
نه من بازم می گم اثبات شما درست نیست.در واقع شما همون اول بسم الله اثبات رو گذاشتی بقیه رو ول کردی.الان یه اثبات خوب واست می زارم:
خوب اول شار گذرنده از یک جزء مساحت بر اثر یک بار درون اون حجم رو می نویسیم:
[tex]\overset{\rightharpoonup }{E}\cdot \hat{n}da=\frac{q}{r^2}\frac{\overset{\rightharpoonup }{r}}{r}\cdot \hat{n}da=\frac{q \hat{r}}{r^2}\cdot \hat{n}da[/tex]
و این هم تعریف زاویه ی فضایی متناظر با اون جزء سطحی:
[tex]\text{Cos$\theta $}da=r^2d\Omega [/tex]
پس شار گذرنده رو می تونیم این طوری بنویسیم:
[tex]\overset{\rightharpoonup }{E}\cdot \hat{n}da=\frac{q}{r^2}\text{Cos$\theta $}da=\frac{q}{r^2}r^2d\Omega =qd\Omega [/tex]
پس شار کل گذرنده بوسیله ی انتگرال گیری بدست میاد:
[tex]\oint _s\overset{\rightharpoonup }{E}\cdot \hat{n}da=q\oint _sd\Omega =4\pi q[/tex]
البته شار بار های خارج زاویه ی فضایی مورد نظر در صفر هست.
معادله ی بدست آمده در بالا برای یک بار تنها است.پس برای مجموعه ای از بار ها داریم:
[tex]\oint _s\overset{\rightharpoonup }{E}\cdot \hat{n}da=\oint _s\sum _i \overset{\rightharpoonup }{E}_i\cdot \hat{n}da=\sum _i \oint _s\overset{\rightharpoonup }{E}_i\cdot \hat{n}da=4\pi \sum _i q_i[/tex]
و برای یک توزیع پیوسته ی بار:
[tex]\oint _s\overset{\rightharpoonup }{E}\cdot \hat{n}da=4\pi \int _V\rho \left(\overset{\rightharpoonup }{r}\right)dV[/tex]
انتگرال سطحی بالا رو میشه با استفاده از قضیه ی گاوس به یک انتگرال حجمی تبدیل کرد:
[tex]\oint _s\overset{\rightharpoonup }{E}\cdot \hat{n}da=\int _V\overset{\rightharpoonup }{\nabla }\cdot \overset{\rightharpoonup }{E}dV[/tex]
بنابر این در این حالت خواهیم داشت:
[tex]\int _V\overset{\rightharpoonup }{\nabla }\cdot \overset{\rightharpoonup }{E}dV=4\pi \int _V\rho \left(\overset{\rightharpoonup }{r}\right)dV[/tex]
و یا
[tex]\int _v\left(\overset{\rightharpoonup }{\nabla }\cdot \overset{\rightharpoonup }{E}-4\pi \rho \left(\overset{\rightharpoonup }{r}\right)\right)dV=0[/tex]
چون این رابطه برای هر حجمی صادق هست،پس باید انتگرالده صفر باشه.بنابر این میشه رابطه ی زیر رو بدست آورد:
[tex]\overset{\rightharpoonup }{\nabla }\cdot \overset{\rightharpoonup }{E}\left(\overset{\rightharpoonup }{r}\right)=4\pi \rho \left(\overset{\rightharpoonup }{r}\right)[/tex]
