قانون گاوس

[Nimbus]

سلام.

من می خواستم بدونم کسی اینجا اثبات قانون گاوس رو میدونه ؟

من از یه ارشد پرسیدم گفت اثباتش از حد لیسانس هم بالاتره. اگه دقت کرده باشین می بینید که نه تو هالیدی نه تو گریفیث و نه تو جکسون اثباتش نیست. البته من الآن دارم تو اینترنت می گردم.

 

[ErfanDK]

پاسخ : قانون گاوس

اثباتش باید مربوط به قضیه هلمهولتز باشه ولی فقط اون نیست(شرط لازم ولی ناکافی) من هم نگاه می کنم اگر پیدا کردم بهتون می گم

 

[ErfanDK]

پاسخ : قانون گاوس

من یه اثبات ابتدایی پیدا کردم ولی سعی می کنم یه اثبات درست حسابی پیدا کنم.
می تونید اثباتش رو از اینجا دانلود کنید(اگه هنوز ندیدینش!)
http://cid-a451b29e146f98d1.skydrive.live.com/self.aspx/PDFs/Proof%20of%20Gauss^4s%20Law.pdf

 

[Nimbus]

پاسخ : قانون گاوس

من خودم به همین روش قبلا" اثبات کرده بودم.

ولی فکر نمی کنم خیلی کامل باشه. (چون اگه بود من اینجا نبودم !)

ولی خب این اثبات برای سطوح استوانه ای و ... جواب نمیده.

 

[ErfanDK]

پاسخ : قانون گاوس

آره اثبات ناقصیه.من از چند جای دیگه هم پیدا کردم ولی هنوز نگاه نکردم.براتون میزارمش همین جا

 

[Backstreetboy]

پاسخ : قانون گاوس

اثباتش به جه دردی میخوره؟!
خودشو یاد بگیرین و اینکه چه طوری میدان رو از زیر اون انتگرال لعنتی بیرون بیارین هنر کردین......

 

[ErfanDK]

پاسخ : قانون گاوس

ولی اثبات جکسون کامله ها.من نگاه کردم دیدم اثبات خوبی داره.نمیدونم چرا شما راضی نشدین!

 

[Nimbus]

پاسخ : قانون گاوس

ولی اثبات جکسون کامله ها.من نگاه کردم دیدم اثبات خوبی داره.نمیدونم چرا شما راضی نشدین!

منظورتون همون اثباتیه که توی پست سوم گذاشته بودید؟

ولی اون ناقصه.

 

[Backstreetboy]

پاسخ : قانون گاوس

برای من باز نمیشه اگه میشه لینکشو چک کنین....که درسته یا نه!

 

[ErfanDK]

پاسخ : قانون گاوس

http://cid-a451b29e146f98d1.skydrive.live.com/self.aspx/PDFs/Proof%20of%20Gauss^4s%20Law.pdf

نه منظور من اثبات کتاب الکترودینامیک کلاسیک جکسونه

 

[aminsb]

پاسخ : قانون گاوس

حل میشه ان شاا...

 

[Nimbus]

پاسخ : قانون گاوس

حل میشه ان شاا...

حل شده !!

ما نمیدونیم !!

 

[Nimbus]

پاسخ : قانون گاوس

دوستان من یه اثبات خیلی خوب توی میلفورد دیدم.

 

[Nimbus]

پاسخ : قانون گاوس

اثبات به این شکله :

[tex]\oint_{S}{}\vec{E}.\hat{n}da=\frac{q}{4\pi \epsilon_{0}}\oint_{S}{}\frac{\vec{r}}{r^3}.\hat{n}da[/tex]​

که در بالا بردار r بر اسکالرش تقسیم و یکه r بدست میاد که از ضرب داخلی اون در n تصویر n و در واقع به نوعی da در راستای r بدست میاد. در این وضعیت اگر این تصویر da بر r^2 تقسیم بشه زاویه فضایی داریم که از انتگرال اون رو سطح بسته مقدار انتگرال 4pi بدست میاد و قضیه اثباته.

 

[ErfanDK]

پاسخ : قانون گاوس

این اثبات نیست که فقط حالت کلی میدان رو تو انتگرال بست داده و ثوابت رو از زیر انتگرال در آورده

 

[Nimbus]

پاسخ : قانون گاوس

این یه اثبات بدون نقصه.

 

[Nimbus]

پاسخ : قانون گاوس

ضمنا الآن انگلیسیه جکسون رو هم دیدم دقیقا" همین اثبات بود.

 

[ErfanDK]

پاسخ : قانون گاوس

نه من بازم می گم اثبات شما درست نیست.در واقع شما همون اول بسم الله اثبات رو گذاشتی بقیه رو ول کردی.الان یه اثبات خوب واست می زارم:
خوب اول شار گذرنده از یک جزء مساحت بر اثر یک بار درون اون حجم رو می نویسیم:

[tex]\overset{\rightharpoonup }{E}\cdot \hat{n}da=\frac{q}{r^2}\frac{\overset{\rightharpoonup }{r}}{r}\cdot \hat{n}da=\frac{q \hat{r}}{r^2}\cdot \hat{n}da[/tex]​

و این هم تعریف زاویه ی فضایی متناظر با اون جزء سطحی:

[tex]\text{Cos$\theta $}da=r^2d\Omega [/tex]​

پس شار گذرنده رو می تونیم این طوری بنویسیم:

[tex]\overset{\rightharpoonup }{E}\cdot \hat{n}da=\frac{q}{r^2}\text{Cos$\theta $}da=\frac{q}{r^2}r^2d\Omega =qd\Omega [/tex]​

پس شار کل گذرنده بوسیله ی انتگرال گیری بدست میاد:

[tex]\oint _s\overset{\rightharpoonup }{E}\cdot \hat{n}da=q\oint _sd\Omega =4\pi q[/tex]​

البته شار بار های خارج زاویه ی فضایی مورد نظر در صفر هست.
معادله ی بدست آمده در بالا برای یک بار تنها است.پس برای مجموعه ای از بار ها داریم:

[tex]\oint _s\overset{\rightharpoonup }{E}\cdot \hat{n}da=\oint _s\sum _i \overset{\rightharpoonup }{E}_i\cdot \hat{n}da=\sum _i \oint _s\overset{\rightharpoonup }{E}_i\cdot \hat{n}da=4\pi \sum _i q_i[/tex]​

و برای یک توزیع پیوسته ی بار:

[tex]\oint _s\overset{\rightharpoonup }{E}\cdot \hat{n}da=4\pi \int _V\rho \left(\overset{\rightharpoonup }{r}\right)dV[/tex]​

انتگرال سطحی بالا رو میشه با استفاده از قضیه ی گاوس به یک انتگرال حجمی تبدیل کرد:

[tex]\oint _s\overset{\rightharpoonup }{E}\cdot \hat{n}da=\int _V\overset{\rightharpoonup }{\nabla }\cdot \overset{\rightharpoonup }{E}dV[/tex]
​

بنابر این در این حالت خواهیم داشت:

[tex]\int _V\overset{\rightharpoonup }{\nabla }\cdot \overset{\rightharpoonup }{E}dV=4\pi \int _V\rho \left(\overset{\rightharpoonup }{r}\right)dV[/tex]​

و یا

[tex]\int _v\left(\overset{\rightharpoonup }{\nabla }\cdot \overset{\rightharpoonup }{E}-4\pi \rho \left(\overset{\rightharpoonup }{r}\right)\right)dV=0[/tex]​

چون این رابطه برای هر حجمی صادق هست،پس باید انتگرالده صفر باشه.بنابر این میشه رابطه ی زیر رو بدست آورد:

[tex]\overset{\rightharpoonup }{\nabla }\cdot \overset{\rightharpoonup }{E}\left(\overset{\rightharpoonup }{r}\right)=4\pi \rho \left(\overset{\rightharpoonup }{r}\right)[/tex]​

 

[Nimbus]

پاسخ : قانون گاوس

روابط رو استاندارد و بر حسب SI بنویسید.

 

[ErfanDK]

پاسخ : قانون گاوس

اصلا فرقی نمی کنه که روابط در چه واحدی باشن، حداقل خود قانون گاوس توی واحدهای گاوسی بهتر جواب میده.در ضمن درسته که واحدهای گاوس به عنوان استاندارد جهانی نیستن و واحدهای SI در به صورت قراردادی رسمیت بیشتری دارن ولی در واقع واحدهای گاوسی به خصوص در الکترودینامیک نوین خیلی بیشتر کاربرد دارن،بخصوص در مسئله ی معادلات ماکسول در صورت وجود تک قطبی های مغناطیسی.