پاسخ : مشتق در فیزیک
به نقل از Hamilton :
دوست عزیز به جای مقاله و این جور چیزا برو به یکی از منابع زیر...
البته برای شروع ممکنه یه‌ذره ترسناک باشن! ولی در کل درستشم همینه که به اون منابع مراجعه کنی!
---------
یه توضیح کلی می‌دم برای اینکه گیج نشی!
خوب مشتق و در کل حساب در اصل محصول کار غیر مشترک دو نفر بوده یکی سِر(sir) ایساک نیوتن(Isaac Newton) و آقای گوتفرید لایبنیتز(Gottfried Leibniz)! این دو نفر تا انجایی که من میدونم با هم کار نمی‌کردن و یه جورایی هم با هم دعوا داشتن که کی از رو کی تقلب کرده!
خلاصه اش کنم:
--------
-سوال:
مشتق اصلا چی‌چیه؟
-جواب:
مشتق یک تابع مثلا [tex]f(x)[/tex] در یک نقطه مثلا [tex]x=x_0[/tex] همون شیب خط مماس بر نمودار تابع در اون نقطه‌س.
مثال:
مقدار مشتق تابع [tex]f(x)[/tex] رو در [tex]x_0[/tex] به صورت [tex]f^\prime(x_0)[/tex] ویا [tex](\frac {d}{dx} f)_{(x_0)}[/tex] هم نشون می‌دن
--------
-سوال:
خوب حالا چجوری حسابش می‌کنن؟؟
-جواب:
فرض کنید می‌خوایم شیب مماس(مشتق) رو در یه نقطه بدست بیاریم. اول او نقطه([tex]x_0[/tex]) و یک نقطه‌ی دیگر([tex]x_0+\Delta x[/tex]) رو در نظر می‌گیریم و یواش یواش [tex]\Delta x[/tex] رو کم می‌کنیم.(یا ۲ نقطه رو به هم نزدیک می‌کنیم!) دقیقا یک اپسیلون قبل از وقتی که به هم رسیدند اونجایی هست که باید شیب رو حساب کنیم!
حالا یه‌ذره ریاضی‌وارتر:
عبارت بالا یعنی اینکه ما حد شیب خطی که از ۲ نقطه‌ی [tex](x_0,f(x_0))[/tex] و [tex](x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))[/tex] می‌گذره رو حساب کنیم.
یعنی حاصل این عبارت:
[tex]\lim_{\Delta x\to 0} \frac {f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}[/tex]
--------
حالا فرض کنید یک تابع تعریف می‌کنیم به نام [tex]f^\prime[/tex] (یا اگه اینجوری دوس دارین [tex]\frac {d}{dx} f[/tex] (یه موقع d ها رو با هم خط نزنی! - تذکر از استاد صَفَر استاد حسابان حلی ۱ دبیرستان))
حالا می‌گیم [tex]f^\prime (x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}[/tex]
یعنی مشتق در نقطه [tex]x_0[/tex] می‌شود [tex]f^\prime (x_0)[/tex] ! همونی که اول گفتم!
-------
چند نمونه از مشتق توابع مختلف:
مشتق جمع:
[tex]{(f(x)+g(x))}^\prime=f`(x)+g`(x)}[/tex]
مشتق ضرب
[tex]{(f(x)g(x))}^\prime=f^\prime(x) g(x)+ g^\prime (x) f(x)}[/tex]
۱-خطی ساده! خب این تو همه‌ی نقاط شیبش برابر ضریب xه
[tex]y= ax+b[/tex]
[tex]y^\prime = a[/tex]
۲-تابع درجه ۲. این و بعدیا رو باید با همون حده اثبات کنی
[tex]y= ax^2+bx+c[/tex]
[tex]y^\prime = 2ax+b[/tex]
۳-چند جمله‌ای هرچی که باشه!
[tex]y= a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}+...+a_2 x^2+a_1 x+b[/tex]
[tex]y^\prime = n a_n x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+...+2 a_2 x+a_1[/tex]
۴-اون بالایی از این بدست میاد:
[tex]y=ax^{n}[/tex]
[tex]y^\prime=nax^{n-1}[/tex]
۵-
[tex]sin^\prime (x)=cos(x)[/tex]
[tex]cos^\prime (x)=-sin(x)[/tex]
۶- مشتق زنجیرهای(خیلی خیلی خیلی مهم!):
[tex](f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x)) g^\prime (x)[/tex]
------------------
مثال از زنجیرهای:
[tex]y= sin(3x)[/tex]
[tex]y^\prime = 3cos(3x)[/tex]
[tex]y^{\prime \prime} = -9sin(3x)[/tex]
[tex]y^{\prime \prime}[/tex] همون مشتق دوم یا مشتقِ مشتق y است
