پاسخ : جداشدن نردبان در حال سقوط از دیوار
برای حل این سوال بهترین روش استفاده از پایستگی انرژی و همچنین بررسی حرکت مرکز جرم میله است.برای همین جهت x رو به طرف راست(نردبان می لغزه طرف راست) و جهت z رو به طرف بالا می گیریم.طول میله هم l است.پس برای مختصات داریم
مشتقات،سرعت و شتاب رو می دن)
[tex]x=\frac{l}{2}\text{Sin$\theta $} \to \dot{x}=\frac{l}{2}\text{Cos$\theta $} \dot{\theta } \to \ddot{x}=\frac{-l}{2}\text{Sin$\theta $} \dot{\theta }^2+\frac{l}{2}\text{Cos$\theta $} \ddot{\theta }[/tex]
[tex]z=\frac{l}{2}\text{Cos$\theta $} \to \dot{z}=\frac{-l}{2}\text{Sin$\theta $} \dot{\theta }[/tex]
همین طور که می بینید تنها مختصه ی لازم برای حل این سوال زاویه ی تتا است.
انرژی جنبشی و پتانسیل رو می نویسیم و اون رو برابر انرژی اولیه قرار می دیم(در زمان صفر،تتا برابر تتا صفر و تتا دات برابر صفر است):
[tex]T=\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+\dot{z}^2\right)+\frac{1}{2}I \dot{\theta }^2\overset{I=\frac{1}{2}\text{ml}^2}{=}\frac{1}{6}\text{ml}^2\dot{\theta }^2[/tex]
[tex]U=\frac{\text{mgl}}{2}\text{Cos$\theta $}[/tex]
و انرژی اولیه:
[tex]E_0=\frac{\text{mgl}}{2}\text{Cos$\theta $}_0[/tex]
پس معادله ی پایستگی انرژی رو می نویسیم:
[tex]\frac{\text{mgl}}{2}\text{Cos$\theta $}_0=\frac{1}{6}\text{ml}^2\dot{\theta }^2+\frac{\text{mgl}}{2}\text{Cos$\theta $}[/tex]
پس از حل این معادله خواهیم داشت:
[tex]\dot{\theta }^2=3\frac{g}{l}\left(\text{Cos$\theta $}_0-\text{Cos$\theta $}\right)[/tex]
بعد از مشتق گیری خواهیم داشت:
[tex]\ddot{\theta }=3\frac{g}{2l}\text{Sin$\theta $}[/tex]
با استفاده از این معادلات می تونیم حرکت این نردبان رو به طور کامل بررسی کنیم.پس برای پیدا کردن زاویه ی جدا شدن ابتدا نیروی عمودی دیوار عمود رو می نویسیم و با برابر صفر قرار دادن اون زاویه ی جدایی رو بدست میاریم:
[tex]N^{\text{Wall}}=m \ddot{x}=\frac{-l}{2}\text{Sin$\theta $} \dot{\theta }^2+\frac{l}{2}\text{Cos$\theta $} \ddot{\theta }[/tex]
[tex]N^{\text{Wall}}=0\to \text{Cos$\theta $} \ddot{\theta }=\text{Sin$\theta $} \dot{\theta }^2[/tex]
الان بعد از حل این معادلات با استفاده از معادلاتی که برای تتا دات و تتا دابل دات آوردیم می تونیم زاویه ی جدایی رو بدست بیاریم که برابره با:
[tex]\fbox{$\theta =\text{ArcCos}\left(\frac{2}{3}\text{Cos$\theta $}_0\right)$}[/tex]
در ضمن یادم رفته بود بگم که زاویه ی تتا برابره با زاویه ی نردبان با راستای عمودی که توی شکل میشه
[tex]\theta _0=\text{ArcCos}\left(\frac{h}{l}\right)[/tex]
