دو سوال از المپیاد ریاضی برزیل 2008

[eyekay]

2 تا سوال از المپیاد ریاضی برزیل اینجا میزارم ،اگه بخوام سوالا رو طبقه بندی کنم به 3 سطح راحت و متوسط و سخت ،سوال اول رو راحت و سوال دوم رو من متوسط طبقه بندی می کنم


نکته:راه حل رو با رنگ زرد بنویسید که اگه کسی خواست نبینه مشکلی براش نباشه هرکی هم که خواست بخونه می تونه متن راه حل رو با موس سلکت کنه




1-عددی رو زیبا می گیم که مضربی داشته باشه که با عدد 2008 شروع شده باشه،مثلا 7 زیباست چون داریم 200858 که مضرب 7 هستش
ثابت کنید تمام اعداد صحیح غیر صفر زیبا هستند


2-6n نقطه در روی خطی قرار دارند ،از این 6n نقطه 4n نقطه آبی و باقی آنها سبز رنگ هستند،ثابت کنید قسمتی از این خط شامل دقیقا 3n نقطه وجود دارد که از این 3n نقطه دقیقا 2n تایشان آبی و باقی سبز هستند


ویرایش:هر کی راهنمایی خواست می تونه به من پیغام خصوصی بده

 

[احمدرضا رحیمی]

پاسخ : دو سوال از المپیاد ریاضی برزیل 2008

این راه حل من برای سوال دومی هست.

یک بلوک مانند شکل زیر در نظر میگیریم (اندازه بلوک میتواند تغیر کند ولی تعداد نقاط درون آن همواره برابر 3n است):

اگر توی این بلوک 2n نقطه آبی وجود داشته باشند حکم ثابت شده پس فرض میکنیم کمتر از 2n نقطه آبی هست . در نتیجه توی اون قسمت دیگه خط که 3n نقطه وجود داره بیشتر از 2n نقطه آبی وجود داره.
ما بلوک رو در هر مرحله به اندازه یک نقطه جلو میبرم(یعنی اگر نقطه ها رو 1 تا n در نظر بگیریم در مرحله اول از نقطه 1 تا 3n و در مرحله دوم از نقطه 2 تا 3n+1 رو در نظر میگیریم پس اگر فاصله نقطه ها با هم تفاوت داشته باشه هم مشکلی برای انتخاب نقطه ها پیش نمیاد! ) .
در هر مرحله 4 حالت ممکنه بوجود بیاد :
1- 1 نقطه آبی حذف و یک نقطه آبی اضافه شود
2- 1 نقطه آبی حذف و یک نقطه سبز اضافه شود
3-1 نقطه سبز حذف و 1 نقطه آبی اضافه شود
4-1 نقطه سبز حذف و یک نقطه آبی اضافه شود

پس حداکثر تعداد نقاط آبی که میتونه اضافه بشه در هر مرحله 1 هست از طرفی بعد از 3n مرحله تعداد آبی ها توی اون مجموعه ای که در نظر گرفتیم از کمتر از 2n به بیشتر از 2n رسیده پس نتیجه میگیریم که قطعاً توی یکی از این مراحل تعداد آبی ها دقیقاً 2n شده :)

البته این سوال بیشتر در حد بچه های راهنمایی هست چون یک سوال بسیار ساده هست!

 

[eyekay]

پاسخ : دو سوال از المپیاد ریاضی برزیل 2008

بله ،راه حلتون درسته،
سوال آسون نیست،ولی ایدش یه جور دیگه لوس شده ،یعنی اگه دفعه ی اول همچین سبک سوالی ببینید براتون سخته ولی چون سوال مثل این زیاده راحت حلشون می کنید


سوال اولو کسی حل نکرد؟ خیلی راحته ها!از اینم راحت تره

 

[Golnoosh]

پاسخ : دو سوال از المپیاد ریاضی برزیل 2008

من برای سوال اول یه نظری دارم:
اگه باقیمانده ی تقسیم A بر B برابر با C باشه در صورتی که ما B-C رو با A جمع کنیم حاصلی معادل S داریم که مضربی از B یه!
ما میتونیم 2008 * 10k رو بر اعداد صحیح به غیر 0 تقسیم کنیم
فقط با این شرط که مقسوم علیه ما از 10kکمتر باشه !
مثلن اگه ما عدد 20080 (2008 *101) رو بر 9 تقسیم کنیم باقیمانده 1 میشه ما در صورتی که 1-9 رو با عدد 20080 جمع کنیم یه مضرب از عدد 9 داریم و تونستیم اثبات کنیم که این عدد زیبا هم هست!
ما میتونیم اینو در مورد تمام اعداد صحیح دبه جز 0 گسترش بدیم با ذکر این شرط که Z<10k باشه!
درسته؟؟؟