مجموعه‌های فازی

[trustme]

مجموعه های فازی
مجموعه ي "گلهاي زيبا" مجموعه(قاطع) نيستند. اینا اون مجموعه هایی هستن که ما توی ریاضی1 خوندیم مجموعه نیستن. به اینجور مجموعه ها مجموعه فازی می گن.
مثال: خانواده ي Ã يك خانواده ي 4 نفره هستند كه دنبال يه جاي راحت مي گردن.

Ã={(1,0),(2,.2),(3,.5),(4,1),(5,.8),(6,.4)}

خوب حالا به تفسير داده ها مي پردازيم.
ما خونه هاي يك خوابه ، دوخوابه ، سه خوابه ، ... و شش خوابه داريم. ما مجموعه ي اين خانواده (Ã) رو با دو تايي هاي مرتب نشون مي ديم. مولفه ي اول مي شن تعداد خواب ها و مولفه های دوم ميزان مناسب بودن اين خونه رو نشون مي دن كه حداقلش صفر و حداكثرش يك هست.
مطمئنا خونه ي يك خوابه براشون كوچيكه و خونه ي شش خوابه هم چون احتياجي ندارن براشون به صرفه نيست.
به اعدادی كه در مولفه ي دوم نوشته شده "تابع عضويت" مي گيم.

در مجموعه هاي قاطع ما براي عضويت عضو x از مجموعه ي مرجع دو حالت در نظر مي گيريم.يا عضو هست يا خير.
اما در مجموعه هاي فازي ما ميزان عضويت رو در نظر مي گيريم.

براي درك بهتر به نمودار ون دو مجموعه دقت كنيد:

به عكس خوب دقت كنيد.نقطه ي d در مركز مجموعه ي Ã قرار داره و a با تابع عضويت كمتر و b هم كمتر از اون و بالاخره c با تابع عضويت حضور داره.

اما اينجا فقط عضويت و عدم عضويت مطرح مي شه.
تعريف كلي: مجموعه ي فازي مجموعه اي است كه به جاي اينكه عضويت يا عدم عضويت يك عنصر مطرح شود ، ميزان عضويت آن بررسي مي شود.

مجموعه ي فازي: اگر X مجموعه ي عناصري باشد كه توسط x مشخص مي گردند، آنگاه مجموعه Ã در X يك مجموعه از زوج هاي مرتب است، به نحوي كه:

µÃرا تابع عضويت يا درجه ي سازگاري مي گويند.

مجموعه هاي فازي را علاوه بر نمايش به صورت زوج مرتب به اشكال زير نيز نمايش مي دهند:

كه اينجا منظور از سیگما علامت جمع نيست. بلكه علامت اجتماع هستش.
" / " هم علامت تقسيم نيست، بلكه فقط جدا كنندس.
نمونه ي اين سيستم :

Ã= 1/1 + 1/2 + .75/3 + .5/4 + .3/5 + .3/6 + .1/7 + .1/8

اينجا هم + نشان دهنده ي اينه كه اينا اعضاي يك مجموعه هستن.
فقط دقت كنيد كه اينبار ما اول µÃ (x) رو مي آريم بعد / و بعد هم x رو.
يعني زوج مرتب

به صورت

نشون داه مي شه.

انواع مجموعه هاي فازي
مجموعه هاي فازي انواع مختلفي دارند كه برحسب نوعشون اسمها و خواص مختلفي دارند.

مجموعه هاي فازي فراگير
اين مجموعه ها نوعي مجموعه ي فازي هستند كه به جاي دوتايي هاي مرتب از سه تايي هاي مرتب تشكيل شده اند و مولفه ي سوم درجه ي عدم عضويت را نشان مي دهد.

با اين شرط كه

تساوي دو مجموعه ي فازي
دو مجموعه ي فازي را برابر مي گوييم اگر به ازاي تمام x هاي عضو X تابع عضويت آنها برابر باشد. به عبارتي:

مجموعه ي فازي تهي
يك مجموعه ي فازي تهي ناميده مي شود ، اگر تابع عضويت آن در تمام نقاط مجموعه ي مرجع برابر صفر باشد.

مجموعه ي فازي پشتيبان (تكيه گاه)
مجموعه ي پشتيبان يك مجموعه ي فازي كه با S(Ã) نشان داده مي شود ، عبارتست از مجموعه ي عناصري از Ã كه درجه عضويت آنها بزرگتر از صفر است.
مثال:

X={1,2,3,4,5,6}
Ã={(1,0),(2,0.1),(3,0),(4,0),(5,1),(6,0.5)}
S(Ã)={2,5,6}

ارتفاع يك مجموعه ي فازي

ارتفاع يك مجموعه ي فازي در واقع بزرگترين درجه ي عضويت در آن مجموعه است.

مجموعه ي فازي نرمال

يك مجموعه ي فازي نرمال ناميده مي شود اگر حداقل درجه ي عضويت يك عضو آن 1 باشد. به عبارتي اگه ارتفاع يك مجموعه ي فازي 1 باشد آن مجموعه ، مجموعه فازي نرمال ناميده مي شود.
تمام مجموعه هاي قاطع (كلاسيك) به جز مجموعه هاي تهي نرمال هستند.براي نرمال نمودن يك مجموعه ي غير نرمال درجه عضويت هر عنصر را بر ارتفاع آن مجموعه تقسيم كنيم.

هسته ي يك مجموعه ي فازي

هسته ي يك مجموعه ي فازي عبارتست از زير مجموعه اي از مجموعه اي از مجموعه مرجع X كه درجه ي عضويت عناصر آن در Ã برابر يك است.

مثال:

Ã={(1,0.2),(2,1),(3,0),(4,0),(5,0.8),(6,1)}

هسته ی مجموعه ی بالا {2,6} هست.
مجموعه ي فازي منفرد
يك مجموعه ي فازي منفرد ناميده مي شود ، اگر مجموعه ي پشتيبان آن فقط يك نقطه در X باشد. يعني فقط و فقط يك عضو با درجه عضويت 1 داشته باشد.
نقطه (نقاط) تقاطع يك مجموعه ي فازي
نقطه يا نقاطي از مجموعه ي مرجع كه درجه ي عضويت آنها در Ã برابر 0.5 است را نقطه يا نقاط تقاطع مجموعه ي Ã مي ناميم.

زير مجموعه ي مجموعه فازي
مجموعه ي فازي Ã_1 زير مجموعه ي Ã_2 ناميده مي شود اگر به ازاي تمام مقادير عضو X درجه ي عضويت Ã_1 كمتر از Ã_2 باشد. به عبارتي

مجموعه ي در سطح α (برش α )
مجموعه ي در سطح α زير مجموعه اي از X است كه درجه عضويت تمام اعضاي آن در Ã از α بيشتر مساوي باشند. (در صورت وجود نداشتن علامت تساوی، مجموعه ی مورد نظر را مجموعه ی قوی در سطح a (برش قوی a) می گویند )

مجموعه ي فازي محدب
يك مجموعه ي فازي محدب است اگر

برای درک بهترش می تونین دوتا نقطه در نظر بگیرین و این عبارت رو روش پیدا کنین.

كارديناليتي يك مجموعه ي فازي
كارديناليتي با عدد اصلي براي يك مجموعه ي فازي اينگونه تعريف مي شود.

به عبارت ديگر كارديناليتي يك مجموعه ي فازي يعني مجموع درجه ي عضويت هاي اعضاي آن.

كارديناليتي نسبي
كارديناليتي نسبي يك مجموعه ي فازي اينگونه تعريف مي شود.

مثال:

Ã={(1,0.2),(2,1),(3,0),(4,0),(5,0.8),(6,1)}
|Ã|=3
||Ã||=3/6=1/2

گردآوری شده از سایت هوش مصنوعی با کمی دخل و تصرف