پاسخ : معرفی تابع هیپربولیک(هایپربولیک)
اگر تابع f(x) دامنه ی متقارن داشته باشه، آنگاه میشه {الف} و {ب} رو ثابت کرد.( اثباتش خیلی راحته. امتحان کنید!
)
الف: h(x)=f(x)+f(-x) زوج است.
ب: k(x)=f(x)-f(-x) فرد است.
از جمع زدن این 2 تابع( h(x) & f(x) ) باهم ، فرمول زیر بدست میاید:
f(x)=1/2( f(x)+f(-x) )+ 1/2( f(x)-f(-x) )
این یعنی تابع f(x) رو به یک تابع زوج و یک تابع فرد تفکیک کردیم!
--------------------------
حالا اگر این فرمول رو درباره تابع ex به کار ببریم،میشه:
ex = 1/2 {ex + e-x } + 1/2{ ex - e-x }
که در واقع قسمت زوج تابع رو کسینوس هیپربولیک و قسمت فرد تابع رو سینوس هیپربولیک میگن!
یعنی:
sinh(x) =1/2{ ex - e-x} odd
cosh(x)= 1/2 { ex + e-x } even
تانژانت ، کتانژانت ، سکانت و کسکانت هیپربولیک هم مثل معمولیاشون تعریف میشه.
*>تابع معکوسهای اینها هم تعریف میشن، و ازشون تو بعضی انتگرالگیریها استفاده میشه.
جدول انتگرالهاشون تو قسمت علوم ریاضی و حساب دیفرنسیل و انتگرال سایت رشد هست !
*>توابع هذلولوی هم مثل توابع دایره ای ، بینشون یه سری اتحاد برقراره!
مثلا: cosh2(x)- sinh2(x)=1
یا: sinh(x+y)= sinh x . cosh y+ cosh x . sinh y
جالبه! نه؟! تقریبا همه اتحاداشون شبیه همه! :)
*>محدوده هاشون هم جالبه: sinh x : بین منفی و مثبت بینهایت
cosh
از مثبت 1 تا مثبت بینهایت
tanh
از -1 تا +1
*>شکل تابع cosh x تقریبا مثل یه سهمی رو به بالاست و شکل sinh x هم تقریبا مثل یه تابع درجه 3 است(میشه ثابت کرد که cosh x همواره از sinh x بزرگتراست!). این دو یک مجانب مشترک دارند که در بینهایت بهش میرسند(یعنی در x های خیلی بزرگ، sinh x و cosh x تقریبا باهم برابر میشند!) و اون مجانب y=1/2 ex است!
-----------------------
این یک تیکه هم از کتاب
حساب دیفرانسیل و انتگرال، نوشته ی توماس ، صفحه 505 کپی شده:
لامبرت توابعی از یک زاویه را که با مراجعه به دایره ی واحد مشخص میشوند( توابع مستدیر) با توابعی مشابه از یک زاویه که مرجع آنها هذلولی متساوی الساقین است( توابع هیپربولیک یا هذلولوی) کنار هم نهاد و در ارتباط با هم مطالعه کرد. انگیزه او در این کار، مطالعاتش در نجوم بود که اطلاعاتی(ریاضی)از اجسام سماوی در زیر افق را ایجاب میکرد. در مطالعات او ، دانستن سینوس قوسی که اندازه اش یک عدد موهومی است، و به طور کلی توابع مثلثاتی چنین قوسهایی لازم بود. لامبرت از مثلثات هیپربولیک برای اینگونه محاسبات استفاده کرد.
مستدیر: دایروی
به نظر من یعنی: قوسهای هذلولوی، دارای اندازه ای موهومی هستند{اعداد موهومی اعدادی اند که جذر یک عدد منفی هستند!تا جایی که من میدونم.} و چون کاربرد داشتن درست بررسی شدند!
