سطح مقطع کره و صفحه گذرنده از آن

[OWNING]

سلام
یه سوالی برام پیش اومده , اگه کسی می تونه کمک کنه لطفا!
اگه یه صفحه یه کره رو قطع کنه , مگه سطح مقطع دایره نمیشه؟
پس چرا من اگه همچین معادله ای داشته باشم :
معادله کره : x^2+y^2+z^2=4
و
معادله صفحه: x=y

و در معادله کره به جای y قرار بدم x ( چون x=y ) معادله حاصل میشه : 2x^2+z^2=4 که این معادله یه بیضیه!!!!!!!!!!؟؟؟؟؟؟؟؟؟

اگه کسی می دونه چرا بگه , ممنون

 

[behrazv]

پاسخ : سطح مقطع کره و صفحه گذرنده از آن

سلام

سوال جالبیه. چیزی که به ذهن من میرسه اینه:

شما وقتی این معادله دوم رو به دست میاری، یعنی 2x^2 + z^2 = 4 ، این در واقع دو بعدیه. یعنی داریم به این شکل حاصل از تقاطع در راستای صفحه x-z نگاه می کنیم. منظورم اینه که صفحه x=y به صورت قطری از مبدا می گذره دیگه (یعنی یه صفحه عمودیه که در راستای محور z و روی صفحه x-y به شکل خط x=y دیده میشه). بعد ما همین طوری وقتی شکل رو تصور می کنیم می بینیم یه دایره است، ولی در واقع تصویر این شکل روی یه صفحه مختصات دو بعدی (که فقط محور x و z داره) یه بیضیه.
اگه بخوایم معادله ای که به دست میاریم دایره باشه، باید مثلا یه دستگاه مختصات جدید تعریف کنیم (مثلا مختصات عادی دکارتی رو حول محور z چهل و پنج درجه بچرخونیم).
این طوری هم میشه بهش نگاه کرد: معادله دایره در واقع x^2 + z^2 = r^2 هستش دیگه. الان اگه واسه این تقاطع این معادله به دست می اومد معنیش این بود که مثلا وقتی z صفره، x باید r باشه. ولی در واقع نیست، رادیکال 2 * r ـه!
ولی مثلا اگه به جای صفحه x=0، x=y رو امتحان کنیم، نتیجه دایره میشه چون این دو تا شکل روی صفحه y-z هم دیگه رو قطع می کنن.

 

[OWNING]

پاسخ : سطح مقطع کره و صفحه گذرنده از آن

تقریبا فهمیدم منظورت چیه ! اما چجوری باید فقط با معادله حلش کنم و دایره به دست بیارم ؟ معادله اون دایره اصلی رو منظورمه! بر حسب x,y,z و در همون دستگاه دکارتی!

 

[behrazv]

پاسخ : سطح مقطع کره و صفحه گذرنده از آن

من نمی دونم دایره رو چه طور میشه توی فضای سه بعدی تعریف کرد. یعنی چون دایره یه شکل دو بعدیه، به نظر من تو این مورد معادله ی دایره ای که مد نظرمونه همون x^2 + y^2 + z^2 = 4 هستش، به شرط این که x = y . یعنی مثلا میشه گفت مجموعه نقاطی که مجموع مربّعات x و y و z ــشون چهاره، و x ـشون برابر y ـشونه (چشم بسته غیب می گم!).
غیر از این راه دیگه ای واسه توصیف یه دایره تو فضای سه بعدی به ذهن من نمی رسه. باز اگه شما فرم خاصی واسه این معادله تو ذهنته بگو به این شکل در بیاریم معادله رو.

ویرایش: مثلا این جا نوشته یه چنین دایره های مورّبی رو توی فضای سه بعدی میشه با دو تا معادله تعریف کرد، که در واقع همینه که من نوشتم.