اثبات ناشمارا بودن اعداد حقیقی

[Admin2]

کسی روشی برای اثبات ناشمارا بودن بازه (0,1) بلده؟

 

[احسان]

پاسخ : اثبات ناشمارا بودن اعداد حقیقی

کسی روشی برای اثبات ناشمارا بودن بازه (0,1) بلده؟

دو تا اثبات خیلی قشنگ برای ناشمارا بودن R شنیدم! یکیشون اینه:

قسمت اعشاری هر عددی توی بازه ی (1 و 0) را می شه به صورت یه رشته ی نامتناهی از رقم ها در نظر گرفت!! (برای اعدادی که تعداد رقم های اعشاریشون متناهی هست، بی نهایت صفر به انتهای عدد اضافه می کنیم تا تعداد ارقام اعشاری اون عدد نا متناهی بشه!!) بنابراین اگه مجموعه ی همه ی رشته های نامتناهی تشکیل شده از ارقام رو S در نظر بگیریم، یه تناظر یک به یک وجود داره بین اعداد بازه ی (1 و 0) با S!!

حالا باید ثابت کنیم که نمی شه یه تناظر یک به یک بین اعضای S و N برقرار کرد!!

برهان خلف: فرض کنید چنین تناظر یک به یکی وجود داشته باشه!! در این تناظر یک به یک، دنباله ی متناظر با عدد طبیعی k رو دوست k می نامم!!!!

حالا یه رشته ی نامتناهی از ارقام می سازم و این رشته رو p می نامم!! این رشته ی p باید با این ویژگی ساخته بشه که به ازای هر عدد طبیعی m ، رقم m ام p ، چیزی جز رقم m ام دوست m باشه!! (یعنی اگه m امین رقم دوست m برابر x باشه، m امین رقم p ، هر رقمی می تونه باشه به جز x!!)

چون p خودش یه رشته ی نامتناهی از ارقام هست، باید دوست یکی از اعداد طبیعی باشه!! اگه p دوست عدد طبیعی k باشه، یعنی k امین عضو دنباله ی p با k امین عضو دوست k برابره!! [تناقض]

اگه بد توضیح دادم بگید!! (این اثبات رو به صورت حضوری خیلی راحت می شه توضیح داد!!)


پی. اس. یه اثبات جالب دیگه هم وجود داره که به صورت خیلی خلاصه می گم:

برای هر مجموعه ی دلخواه S ، اگه مجموعه ی همه ی زیر مجموعه های مجموعه S رو مجموعه ی توانی S بنامیم، می شه ثابت کرد که تناظر یک به یک بین S و مجموعه ی توانی S وجود نداره!! (اثباتش هم خیلی باحاله!)

از طرفی می شه ثابت کرد (1 و 0) و مجموعه ی توانی N متناظرند!! پس (1 و 0) نمی تونه با N متناظر باشه!!

 

[Admin2]

پاسخ : اثبات ناشمارا بودن اعداد حقیقی

باید بگم که نفهمیدم ! مشکل من این تیکه‌ست:

" حالا یه رشته ی نامتناهی از ارقام می سازم و این رشته رو p می نامم!! این رشته ی p باید با این ویژگی ساخته بشه که به ازای هر عدد طبیعی m ، رقم m ام p ، چیزی جز رقم m ام دوست m باشه!! (یعنی اگه m امین رقم دوست m برابر x باشه، m امین رقم p ، هر رقمی می تونه باشه به جز x!!)

چون p خودش یه رشته ی نامتناهی از ارقام هست، باید دوست یکی از اعداد طبیعی باشه!! اگه p دوست عدد طبیعی k باشه، یعنی k امین عضو دنباله ی p با k امین عضو دوست k برابره!! [تناقض] "

رشته بر مبنای 10 ساخته شده. پس تا 9 رقم می تونیم فرض کنیم اما بیش از اون ارقام دو رقمی میشن !
پاراگراف بعدی رو هم اصلا نفهمیدم.

معلممون هم همین رو گفت و من بازهم نفهمیدم. جالبه که این اثبات رو به چند نفر دیگه هم دادم و اون ها هم نفهمیدن !

 

[احسان]

پاسخ : اثبات ناشمارا بودن اعداد حقیقی

باید بگم که نفهمیدم ! مشکل من این تیکه‌ست:

" حالا یه رشته ی نامتناهی از ارقام می سازم و این رشته رو p می نامم!! این رشته ی p باید با این ویژگی ساخته بشه که به ازای هر عدد طبیعی m ، رقم m ام p ، چیزی جز رقم m ام دوست m باشه!! (یعنی اگه m امین رقم دوست m برابر x باشه، m امین رقم p ، هر رقمی می تونه باشه به جز x!!)

چون p خودش یه رشته ی نامتناهی از ارقام هست، باید دوست یکی از اعداد طبیعی باشه!! اگه p دوست عدد طبیعی k باشه، یعنی k امین عضو دنباله ی p با k امین عضو دوست k برابره!! [تناقض] "

رشته بر مبنای 10 ساخته شده. پس تا 9 رقم می تونیم فرض کنیم اما بیش از اون ارقام دو رقمی میشن !
پاراگراف بعدی رو هم اصلا نفهمیدم.

معلممون هم همین رو گفت و من بازهم نفهمیدم. جالبه که این اثبات رو به چند نفر دیگه هم دادم و اون ها هم نفهمیدن !

گفتم كه نوشتن اين اثبات سخته!!

يه دنباله ي نامتناهي در نظر بگير كه همه ي اعضاي دنباله، رقم هستند! (يعني همه ي اعضاي دنباله، اعداد صحيح نامنفي و كوچكتر از 10 هستند!!) ار اين به بعد به چنين دنباله هايي مي گيم دنباله ي خوب!!

مي شه دنباله هاي خوب رو با اعداد حقيقي بين صفر و يك متناظر كرد!! (تا اين جاش قبوله؟؟!!)

حالا كافيه ثابت كنيم مجموعه ي همه ي دنباله هاي خوب با مجموعه ي اعداد طبيعي متناظر نيست!!

فرض كن تناظر يك به يك بين اين دو مجموعه وجود داره!! يه دنباله ي خوب به نام P بساز با اين ويژگي كه عضو m ام P با عضو m ام دنباله ي متناظر با عدد m يكي نباشه! (يعني اگه توي دنباله ي متناظر با عدد 1 ، عضو اول برابر x هست، عضو اول P نبايد عدد x باشه!! به همين ترتيب اگه توي دنباله ي متناظر با عدد 2 ، عضو دوم برابر y هست، عضو دوم P هر رقمي مي تونه باشه جز y!! و ...)

حالا يه عدد طبيعي k بايد وجود داشته باشه كه با اين P متناظر شده!! حالا مي شه تنيجه گرفت كه عضو k ام P برابره با عضو k ام دنباله ي متناظر با k ! (چون P همون دنباله ي متناظر با عدد k هست!!)


اگه هنوز هم نا واضحه، بايد تلفني بگم!!!!


پس. اس. اون اثبات دوم هم خيلي باحاله!! ولي باز توضيح دادنش سخته!!

 

[ISO9002]

پاسخ : اثبات ناشمارا بودن اعداد حقیقی

کسی روشی برای اثبات ناشمارا بودن بازه (0,1) بلده؟

مراجعه کن به دیفرانسیل 1
فصل 1