• اگر سمپادی هستی همین الان عضو شو :
    ثبت نام عضویت

شنیدنی‌های ریاضی

  • شروع کننده موضوع
  • #1

امین

Part-time Human
ارسال‌ها
1,577
امتیاز
26,314
نام مرکز سمپاد
ضروری
شهر
ضروری
سال فارغ التحصیلی
0
در این‌جا قصد داریم دربارۀ چیزهای جالبی که در دنیای ریاضی وجود داره حرف بزنیم؛ ولی لیترالی باید حرف بزنیم، یعنی به صورت صوتی ریکورد کنیم و اگر لازم به تصویری هم بود، اون رو ضمیمه کنیم.

فقط هم مختص به من نیست و بقیه هم بیان و توضیح بدن اگر حرف جالبی برای گفتن دارن.

موضوعی که من امروز تصمیم داشتم در رابطه با اون صحبت کنم رو از این‌جا می‌تونید گوش کنید و تصویر زیر هم برای دنبال کردن و فهم بهترش قرار دادم. (تپق هم زیاد دادم می‌دونم)

euler_39_s_sum_of_powers_conjecture_w48t.png
 

MRΣZA

کاربر نیمه‌حرفه‌ای
ارسال‌ها
259
امتیاز
2,664
نام مرکز سمپاد
شهید بهشتی
شهر
ابهر
سال فارغ التحصیلی
1403
مجموع اعداد طبیعی تا بی‌نهایت...
با بیان ساده
(می‌تونید زیرنویس رو فعال کنید)
 
  • شروع کننده موضوع
  • #3

امین

Part-time Human
ارسال‌ها
1,577
امتیاز
26,314
نام مرکز سمپاد
ضروری
شهر
ضروری
سال فارغ التحصیلی
0
بنا بود که این قسمت رو براتون ریکورد کنم، اما چون کمی صدام گرفته بود و شرایط ضبط صدا هم در حال حاضر برام مهیا نبود، گفتم ممکنه به صورت نوشتاری هم براتون جذاب باشه خوندنش.

قصد دارم به بررسی یکی از سوالات بسیار معروف و زیبای المپیاد ریاضی بپردازم. سوالی که شماره‌ی ۶ هم هست؛ پس می‌دونیم که بسیار سخت قلمداد میشه. مهر تأیید دیگری بر حرفم هم اینه که ترنس تائو که در اون سال (۱۹۸۸) مدال طلاش رو به عنوان جوان‌ترین برنده‌ی طلای ریاضی کسب کرد، از این سوال فقط ۱ امتیاز گرفت!

شرح صورت سوال بدین شکله:
1988q6_8m77.png
منظور سوال اینه که به عنوان مثال اگر من a و b رو 8 و 2 درنظر بگیرم، حاصل عبارت میشه 68 به روی 17 یا همون 4 که یک عدد مربع کامله؛ و اگر 3 و 2 در نظر بگیرم، حاصل عبارت میشه 13 به روی 7 که اصلاً عدد صحیح نیست که بخوایم بگیم مربع کامل هست یا نه، چون شرط سوال این بود که حاصلش یه عدد صحیح مثبت مثل k بشه.

خب، برای اثبات، میام از طریق برهان خلف، فرض می‌کنم که k، مربع کامل نیست، و فرض می‌کنم دو عدد مثل آلفا و بتا، کوچیک‌ترین اعدادی هستن که در عبارت صورت سوال صدق می‌کنن و به ما k تحویل میدن. از طرفی هم می‌دونیم آلفا و بتا در این‌جا خاصیت جابه‌جایی دارن و فرقی نمی‌کنه کدوم، کدوم باشه. مثلاً تو مثالی که اون بالا زدم اگه a=2 باشه و b=8 هم جواب 4 عه و فرقی نمی‌کنه. اما خب من فرض می‌کنم که آلفا بزرگ‌تر از بتاست، اما در کل این دو مقدار، کمترین مقادیری هستن که تو این عبارته صادقن.

به چنین چیزی می‌رسم:
1988a6-1_bmc7.png
اومدم طرفین وسطین کردم و به یک عبارتی رسیدم که شبیه معادلۀ درجه دوعه که آلفا یکی از ریشه‌هاشه. اسم این معادلۀ درجه دو رو ** گذاشتم و بعداً هم باهاش کار دارم. هر معادلۀ درجه دویی دو ریشه داره، کاری ندارم مختلط یا حقیقی. همیشه دو ریشه داره. پس یک عددی مثل گاما هم می‌تونم برای این معادله فرض کنم که ریشه‌ش هست.
1988a6-2_hapu.png
پس برای من امکان‌پذیره که معادلۀ ** رو به صورت حاصل ضرب دو عبارتی بنویسم که ریشه‌هاشون آلفا و گاماست. حالا میام اینا رو پخش می‌کنم و با خود ** مقایسه می‌کنم. می‌فهمم حاصل جمع ریشه‌ها برابر کا ضرب‌در بتاست، پس گاما رو به فرم کا بتا منهای آلفا می‌نویسم. چه نتیجه‌ای از این می‌تونم بگیرم؟ هم کا، هم بتا و هم آلفا همگی اعداد صحیح مثبتن، اعداد صحیح روی عمل جمع و ضرب بسته هستن پس گاما هم قطع به یقین یک عدد صحیحه و مختلط نیست. حاصل ضرب ریشه‌ها هم به شکل بتا به توان دو منهای کا درمیاد، بنابراین اگر طرفین رو بر آلفا تقسیم کنم، گاما به شکل بتا دو منهای کا، به روی آلفا درمیاد. اسم این عبارت رو هم *** می‌گذارم. از این چه نتیجه‌ای میشه گرفت؟ من می‌دونم طبق فرضِ برهان خلفم، کا یک عدد مربع کامل نیست، پس کا هرگز نمی‌تونه با بتا دو که خودش یک عدد صحیح مربع کامله یکی باشه، پس هیچ‌وقت صورتِ این کسر صفر نمیشه، و این یعنی گاما صفر نیست.

حالا نوبت اینه گاما رو تعیین علامت کنم. تا این‌جای کار علاوه بر آلفا و بتا، تونستم یک عدد جدیدی هم پیدا کنم که در * صدق می‌کنه، عدد صحیحه و ناصفره. اگر مثبت هم باشه که دیگه خیلی خوب میشه. می‌دونیم که آلفا توی معادلۀ ** صدق می‌کرد، معادلۀ ** خودش از معادلۀ * ساخته شده بود، پس گامایی که از معادلۀ ** استخراج کردم هم طبیعتاً باید تو * صدق بکنه.

1988a6-3_ltbw.png
گاما رو به جای آلفا قرار میدم. می‌دونم حاصل کسر میشه کا که یک مقدار مثبتیه. از طرفی صورت این عبارت جمع دو عدد صحیح بزرگ‌تر مساوی یکه پس صورت هم مثبته. تو مخرج عدد 1 که مثبته، بتا هم عدد صحیح مثبته پس مثبته، گاما می‌تونه منفی باشه؟ خیر. پس در نهایت نتیجه می‌گیریم گاما یک عدد صحیح مثبته.
اگر بخوایم برهان خلفمون نتیجه‌بخش باشه باید یه جوری ثابت کنیم که این گاما از آلفا کوچیک‌تره. اگه به این برسیم فرض خلفمون باطل و حکم ثابت میشه.
ما ابتدای کار گفتیم آلفا و بتا خاصیت جابه‌جایی دارن اما فرض می‌کنیم آلفا از بتا بزرگ‌تره. طرفین رو به توان دو که برسونیم، به آلفا دو بزرگ‌تر مساوی بتا دو می‌رسیم. اگر عدد کا که خودش مثبته رو از سمت راست نامساوی کم کنیم، ایرادی پیش نمیاد فقط علامت مساوی از بین میره و آلفا دو میشه بزرگ‌تر از بتا دو منهای کا. اگر طرفین رو بر آلفا تقسیم کنم، به چیز جالبی می‌رسم! اگر به *** نگاه کنین، می‌بینین که آلفا از گاما بزرگ‌تر شده! یعنی گاما شده کوچیک‌تر از آلفایی که خودش قرار بود به همراه بتا، کوچیک‌ترین اعدادی باشن که در اون عبارت * صدق می‌کنن! این گاما دیگه از کجا پیداش شد؟ و مسلماً گاما با بتا هم برابر نیست چون اگه برابر باشه این اتفاق میفته:
1988a6-4_i6a9.png
که چون بتا از آلفا کوچیک‌ترمساویه، کا که خودش مثبت بود میشه کمترمساوی صفر که شدنی نیست. پس در نهایت به این نتیجه می‌رسیم که فرض اولیه‌مون که گفته بودیم k مربع کامل نیست غلطه و مربع کامله.

+ به عنوان تمرینِ مضاعف، ببینین می‌تونین کلیه‌ی زوج مرتب‌هایی که در این معادله یعنی * صدق می‌کنن پیدا کنین؟
چیزی که من بهش رسیدم، اینه که آلفا، باید مکعبِ بتا باشه. مثل ۲ و ۸، ۳ و ۲۷، و ... . در واقع هدف اصلی برهان خلف، این بود که گاما رو صفر درنظر نگیریم، درحالی که گاما صفر بود! و این یعنی آلفا تقسیم بر بتا برابر با k عه! :‌دی
اگر خارج از این فرمت یعنی (b^3 , b) اعدادی پیدا کردید بگید.
 
  • شروع کننده موضوع
  • #4

امین

Part-time Human
ارسال‌ها
1,577
امتیاز
26,314
نام مرکز سمپاد
ضروری
شهر
ضروری
سال فارغ التحصیلی
0
خب باز هم صوتی نمی‌تونم بگذارم و به نوشتاری بسنده می‌کنم D‌:

در این قسمت می‌خوایم پنچ درجه از معادلات چندجمله‌ای رو با هم حل کنیم.

polynomial_1_v622.png

درجۀ اول:
توضیح؟

polynomial_2_o29k.png

از راه ترسیم نمودار هم میشد حل کرد و کول‌تر هم میشد اگر نمودار رسم می‌کردم براش. نمودارش محور ایکس‌ها رو فقط در طولِ منفی یک قطع می‌کنه.

درجۀ دوم:
تمامی معادلات درجه دو از طریق دلتا حل میشن و همگی هم دو جواب دارن. ممکنه جواب‌ها حقیقی نباشن اما به هر حال دو جواب رو دارن و هدف هم رسیدن به اون‌هاست.
من به جای روش دلتا، میام از طریق مربع کامل حلش می‌کنم. منفی یک رو می‌برم اون‌ور، دقت می‌کنم که ضریب درجه دوی من یک باشه، که هست. حالا میام مجذورِ نصفِ ضریبِ درجه یکم رو (که خودش یک هست و نصفش میشه نیم و مجذورش میشه یک چهارم) رو به طرفین تساوی اضافه می‌کنم. حالا به یک عبارت مربع کامل می‌رسم. اونو تشکیل میدم و از طرفین جذر می‌گیرم. حواسم هم هست که مثبت منفی رو لحاظ کنم. در سطح دبیرستان اعداد موهومی تعریف نشدن، و در واقع این معادله جواب حقیقی نداره و هر دو ریشه imaginary هستن. یک دوم رو می‌برم اون طرف، رادیکال منفی سه چهارم هم برابر میشه با آی رادیکال سه دوم.

polynomial_3_nay4.png

درجۀ سوم:
پُر واضحه که می‌تونیم یه فاکتورگیری از دو جملۀ اول و دوم انجام بدیم و به جملۀ سوم و چهارم برسیم! حالا لازمه مجدداً فاکتورگیری رو انجام بدیم و به دو عبارت برسیم. هر عبارت رو مساوی صفر قرار میدیم. یادمون هم باشه که عبارت درجه سه، سه ریشه داره. اولین ریشه‌ش به وضوح منفی یکه. کلاً این چندجمله‌ای‌ها که به این صورت نوشته میشن، به ازای درجات فرد همواره یک ریشۀ منفی یک رو دارن. همیشه هم میشه ازشون ایکس علاوه یک رو فاکتور گرفت. عبارت دوم ریشۀ حقیقی نداره، اما خب در دستگاه موهومی دو ریشۀ مثبت و منفیِ آی داره که ریشه‌های دوم و سوم این معادله هستن.

polynomial_4_xle9.png

درجۀ چهارم:
همیشه انگار حل درجه زوج‌ها برای این‌ها مشکل‌تر و پُرپروسه‌تره. قلقِ کار این‌جاست که کل عبارت رو میشه بر ایکس به توانِ دو تقسیم کرد و به یه معادلۀ خوش استایل رسید. یه عبارت داره داد می‌زنه که میشه اونو به عنوان تغییر متغیر استفاده کرد ولی قبلش لازمه یکم شکل معادله رو تغییر بدیم و از اتحادها کمک بگیریم. پس از تغییر متغیر، معادلۀ درجه دومی بدست میاد که میشه به راحتی اونو حلش کرد و دو جوابِ جالب به ما میده؛ یکیش قرینۀ عدد طلاییه، یکیش معکوس عدد طلایی! حالا متغیر رو بازگردانی می‌کنیم و به دنبالِ ایکس می‌گردیم. قرار بود ایکس پیدا بشه و باید چهار جواب به دست بیاد، که میاد. واسه هر کدوم دوباره یه معادلۀ درجه دوم می‌نویسیم و ریشه‌هاشون رو پیدا می‌کنیم. هر چهار ریشه موهومی هستن.

polynomial_5_aqt5.png

درجۀ پنجم:
اصل کار این‌جاست! برای حلش باید اتحاد معروف اویلر رو بلد باشید که یکی از عجیب‌ترین و زیباترین فرمول‌های ریاضیه.
از روش تفکیک و تجزیه هم میشه اینو حل کرد اما یه راه بهتر و خلاقانه‌تر براش وجود داره. میایم و کل عبارت رو در ایکس منهای یک ضرب می‌کنیم. معادله تبدیل میشه به ایکس به توان شیش منهای یک مساوی صفر! خیلی ساده شد، نه؟ اما صبر کنید؛ دقت کنین که معادلۀ درجه شش، شش ریشه داره و معادلۀ اصلیمون پنج ریشه داشت. اون یه ریشۀ اضافی در واقع همون ایکس مساوی یک عه که خودمون بهش تزریق کردیم و اصلاً تو خود معادله هم صادق نیست. پس با فرض ایکس مخالف با یک، میریم جلو.
ایکس به توان شش، مساوی یک. می‌خوایم این معادله رو حل کنیم و می‌دونیم که شش ریشه باید داشته باشه. دو ریشه‌ش که حقیقی هستن، مثبت و منفی یک که مثبت یک قابل قبول نیست. اون چهار ریشۀ دیگه، با کمک اتحاد اویلر حل میشه. عددِ یک رو به دستگاه اعداد موهومی می‌بریم. طول شعاع برابر یکه و زاویۀ موهومی هم صفره، که این صفر رو میشه به شکل صفر علاوۀ دوپی‌ان نوشت. یعنی دوپی دوپی هم بچرخیم باز می‌رسیم به همین یک و تفاوتی نمی‌کنه، اما همین کار باعث میشه ریشه‌های موهومی مختلفی تولید شن.
پس به جای یک، می‌نویسیم ای به توانِ دوپی‌ان‌آی. طرفین رو به توانِ یک ششم می‌رسونیم و ایکس به فرم پی‌ان‌آی سوم بدست میاد. کافیه به ان اعداد صحیح بدیم. پنج تا عدد صحیح میدیم تا پنج ریشه حاصل شن. از صفر تا پنج رو به عنوان مثال انتخاب می‌کنیم و می‌دونیم صفر قابل قبول نیست چون به ما یک رو میده. اما مابقی اوکی هستن.

polynomial_6_u9vj.png
 
  • شروع کننده موضوع
  • #5

امین

Part-time Human
ارسال‌ها
1,577
امتیاز
26,314
نام مرکز سمپاد
ضروری
شهر
ضروری
سال فارغ التحصیلی
0
در بحث فاکتوریل، یکی از زیباترین و چالشی‌ترین سوالات ممکن رو الان دیدم؛ جوابش رو فردا اگر بتونم در شنیدنی‌های ریاضی قرار میدم.

تمام a,b,c هایی رو بیابید که:

fact_rszp.png
راه حلت هم بنویس‌.
بیش تر داستان بر پایه حدس ها بوده
آخه اصل ماجرا استدلالشه.
جوابت دست بر قضا درسته ولی باید ثابت کنی تنها مجموعه جوابی هست که وجود داره.

روی عکس‌ها زوم کنید تا بتونید بهتر ببینید.

f1_vz46.png

f2_px6c.png

f3_ud4p.png
 
بالا