سلام. ی سوال دوره ده نفر المپیاد بود که باعث شد علاقه پیدا کنم به بحث تابش هاوکینگ. با تحلیل ابعادی میشه ی سری نتایج جالب رو بدست آورد و زمان تبخیر سیاهچاله رو پیدا کرد. مسئله رو با جزئیاتی که پیدا کردم حل کردم. رفرنسم هم ی فیلم یوتوب بود و همون سوال دوره دهه.
سلام. امروز میخوام یه مسئله ریاضی رو به روش فیزیکی حل کنم!
نقطه فرما در یک مثلث، نقطه ایه که جمع فاصله ش از سه راس مثلث کمینه باشه(یعنی جمع r1+r2+r3). مسئله ما پیدا کردن این نقطه س. یا حداقل فهمیدن ویژگی هاش. میخوایم ثابت کنیم که اون زوایای معلوم شده دور نقطه فرما همشون 120 درجه ان!
فرض میکنیم یه متحرک با سرعت وی داره توی مثلث حرکت میکنه و در یک لحظه خاص به اون نقطه فرما میرسه.
چون در اون نقطه مجموع فاصله ها کمینه شده یعنی مشتقشون نسبت به زمان تو اون لحظه صفر شده. مشتق هر کدوم هم میشه اون مولفه ای از سرعت که در راستای هرکدومه(یعنی وی دات آر هت که آر هت بردار یکه در اون راستائه) حالا داریم:
یعنی جمع سه بردار هم اندازه صفر شده پس زاویه بینشون 120 درجه س!
ایده های دیگه ای هم داره(که همه فهم تر هستن) که حالا بعدا میگم.
ایندفعه می خوام یه چیز جالب راجع به اسنل دکارت یا همون برابری زاویه تابش و بازتابش بگم. میدونیم که طبق اصل فرما نور مسیری رو حرکت میکنه که زمان طی کردنش مینیمم باشه(البته درستش اینه که اکسترمم باشه). برای مثال تو شکل زیر نور اگه بخواد از نقطه A به B بره باید کوتاه ترین مسیرو انتخاب کنه که اثبات میشه برای کوتاه ترین بودن باید زاویه تابش و بازتاب برابر باشه(هم هندسی اثبات میشه هم با مشتق).
حالا من میخوام یه اثبات جالب تر بگم. فرض کنید یه کشی داریم که نیروی کشش توش ثابته. این کشو از نقطه A و از توییه مهره بی جرم رد میکنیم و وصلش میکنیم به نقطه B . میدونیم این سیستم جایی به تعادل میرسه که انرژی پتانسیلش مینیمم بشه. انرژی پتانسیل همچین کشی هم میشه طولش ضربدر نیروی کشش و این عبارت باید مینیمم بشه. نیروی کشش که ثابته پس جایی سیستم به تعادل میرسه که طول کش مینیمم بشه (هم ارز با اینکه طول مسیر نور کوتاه ترین باشه!). حالا فرض کنیم سیستم به تعادلش رسیده.یعنی مهره هم تو تعادله. با نوشتن تعادل نیرو های برای مهره خواهیم داشت:
T COS X = T COS Y پس داریم که X=Y یعنی برابری اون زوایا اثبات شد! ناموسا جالب نبود؟
شاید بگید که اصلا کشی وجود داره که کشش توش ثابت باشه؟ جواب اینه که بله هست واقعا. مثلا میشه یه طناب بی جرم رو در نظر گرفت که دو طرفش دو وزنه به جرم m اویزون کردیم. اینطوری کشش طناب در طول طناب ثابت و برابر mg خواهد بود.
با همین ایده میشه مسئله پست قبلی رو هم اثبات کرد.
