سوال

[ErfanDK]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

آخه فعلا فرصت نکردم نگاهشون کنم.در اسرع وقت نتیجه رو میگم

# نتیجه رو گذاشتم #
زیاد دقت بالایی نداره

 

[ErfanDK]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

کسی انجامش نداده؟ رابطه اش چطور؟ نذارید بعده عید می ذارما!

 

[ErfanDK]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

چون هیچ کس هیچ همکاری با این پست نکرد،من خودم پاسخ رو میذارم و بعد از مرحله ی دوم این مطلب قفل خواهد شد.

 

[ErfanDK]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

خوب اول من معادلات حرکت آونگ ساده به همراه جواب معادلات رو میذارم
برای یک آونگ ساده داریم:

[tex]m \frac{dv}{dt}=-\text{mgSin}[\theta ][/tex]​

[tex]v=l \dot{\theta } \Longrightarrow\text{ml}\ddot{\theta }=-\text{mgSin}[\theta ][/tex]​

پس معادله ی حرکت یک آونگ خواهد بود:

[tex]\ddot{\theta }+\frac{g}{l}\text{Sin}[\theta ]=0[/tex]​

این رو از راه پایستگی انرژی هم می تونستیم بدست بیاریم.
انرژی جنبشی یک آونگ:

[tex]\text{KE}=\frac{1}{2}\text{mv}^2=\frac{1}{2}\text{ml}^2\dot{\theta }^2[/tex]​

و انرژی پتانسیل گرانشی اون:

[tex]U=\text{mgl}(1-\text{Cos}[\theta ])[/tex]​

انرژی مکانیکی حاصل جمع آنرژی جنبشی و پتانسیل هست و مقداری ثابته.پس مشتقش نسبت به زمان برابر صفر است.

[tex]\frac{dE}{dt}=0\Longrightarrow \text{ml}^2\dot{\theta }\ddot{\theta }+\text{mgl} \text{Sin}[\theta ]\dot{\theta }=0[/tex]​

ولی مشکلی که هست اینه که عبارت [tex]\text{Sin}[\theta ][/tex] این معادله رو تبدیل به معادله ی دیفرانسیلی غیر خطی می کنه که حلش مستلزم توابع خاصه.پس ما از یک تقریب برای تبدیل این معادله ی غیر خطی به معادله ی خطی استفاده می کنیم.این تبدیل بوسیله ی بسط تیلور انجام می گیره.پس باید دامنه ی آونگ کم باشه(کمتر از 6 درجه)

[tex]\text{Sin}[\theta ]\overset{\text{Taylor} \text{Expansion}}{=}\theta -\frac{\theta ^3}{3!}+\frac{\theta ^5}{5!}-\text{...} \overset{\text{For} \text{our} \text{Experiment}}{\Longrightarrow }\text{Sin}[\theta ]\simeq \theta [/tex]​

پس معادله ی ساده شده ی ما به این شکله:

[tex]\ddot{\theta }+\frac{g}{l}\theta =0[/tex]​

که حل عمومی اون به صورت زیره:

[tex]\theta [t]=A \text{Cos}[\text{$\omega $t}]+B \text{Sin}[\text{$\omega $t}] \text{where} \omega \text{:=}\sqrt{\frac{g}{l}}[/tex]​

و با شرایط اولیه ی مسئله ی ما [tex]\left(\theta [t=0]=\beta ,\dot{\theta }[t=0]=0\right)[/tex]معادله ی نهایی به این شکل خواهد بود:

[tex]\theta [t]=\beta\text{Cos}[\text{$\omega $t}][/tex]​

و از این معادله دوره ی تناوب آونگ ساده رو بدست میاریم:

[tex]\Longrightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}[/tex]​

حل عمومی معادله ی دیفرانسیل غیر خطی اولیه که بدست آوردیم به صورت زیر است:

[tex]\theta [t]\to \pm 2\text{JacobiAmplitude}\left[\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left(2g+\text{lc}_1\right)\left(t+c_2\right){}^2}{l}}|\frac{4g}{2g+\text{lc}_1}\right][/tex]​

 

[ErfanDK]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

ولی این روابط برای حالت خاص آزمایش، صحیح نیستن.ما باید از شکل درست قانون دوم نیوتون استفاده کنیم که همون برابری نیروی اعمال شده با تغییرات تکانه یک جسم است یعنی:

[tex]F=\dot{p}=\dot{m}v+m \dot{v}[/tex]​

پس شکل صحیح معادلات مسئله ی مورد نظر به این صورت است:

[tex]\dot{p}=-\text{mgSin}[\theta ]\overset{\text{Sin}[\theta ]\simeq \theta }{\Longrightarrow } m \ddot{\theta }+\frac{dm}{dt}\dot{\theta }+m \omega _0{}^2\theta =0[/tex]​

این معادله ی دیفرانسیل به شکل معادله ی دیفرانسیلی یک نوسانگر با میرایی لزجتی (متناسب با سرعت) است.
شکل عمومی معادله ی یک نوسانگر میرا به این صورت است:

[tex]m \ddot{\theta }+c \dot{\theta }+\text{k$\theta $}=0[/tex]​

برای این که بتوانیم به کمیت مورد نظر، که همون دوره ی تناوب این آونگ میراست برسیم لازمه چند مورد رو تعریف کنیم:
ابتدا میرایی بحرانی رو بدست میاریم.طبق تعریف برای میرایی بحرانی هر نوسانگر میرا داریم:

[tex]c_c=2m \omega _0=2\sqrt{\frac{m^2g}{l}}[/tex]​

پس از اون نسبت میرایی رو بدست میاریم.نسبت میرایی همون نسبت میرایی سیستم نوسانگر به میرایی بحرانی تعریف میشه.از این نسبت برای تعیین نوع نوسانگر استفاده میشود:

[tex]\zeta =\frac{c}{c_c}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{l}{m^2g}}\frac{dm}{dt}[/tex]​

با توجه به شرایط مسئله می تونیم اثبات کنیم که این نسبت میرایی مطمئناٌ مقداری کمتر از یک خواهد داشت([tex](\zeta <1)[/tex])، پس سیستم دارای حالت تحت میرا می باشد
پس لازمه که فرکانس نوسانات میرا رو از روی فرکانس نوسانات طبیعی دستگاه در نبود عوامل میرا کننده پیدا کنیم:

[tex]\omega _{\text{damped}}=\omega _0\sqrt{1-\zeta ^2}[/tex]​

و از روی این فرکانس می تونیم دوره ی تناوب نوسانات رو محاسبه کنیم:

[tex]\underset{T_0=\frac{2\pi }{\omega _0}}{\overset{T=\frac{2\pi }{\omega _{\text{damped}}}}{\Longrightarrow }}T=\frac{T_0}{\sqrt{1-\frac{l}{4g}\left(\frac{1}{m}\frac{dm}{dt}\right)^2}}[/tex]​

 

[ErfanDK]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

اما هنوز تموم نشده.چون یک نکته ی دیگه توی این مسئله نهفته است که بعد از اینکه حلش کردم اینجا میذارم.شما هم سعی کنید بهش فکر کنید

 

[Nimbus]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

این "دامنه ژاکوبی" دقیقا" چیه ؟

من تو اینترنت چیز خاضی پیدا نکردم.

کمی توضیح بده لطفا".

 

[ErfanDK]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

JacobiAmplitude عکس انتگرال بیضوی نوع اوله.

[tex]\phi =\text{JacobiAmplitude}(u,k)=\int _0^u\text{dn}(u',k)du'[/tex]​

که انتگرال بیضوی نوع اول هم به این صورت تعریف میشه:

[tex]u=\text{EllipticF}(\phi ,k)=\int _0^{\phi }\frac{dt}{\sqrt{1-k^2\text{Sin}[t]^2}}[/tex]​

پس رابطه ی زیر رو میشه بدست آورد:

[tex]\phi =\text{EllipticF}^{-1}(u,k)=\text{JacobiAmplitude}(u,k)[/tex]​

 

[Nimbus]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

JacobiAmplitude عکس انتگرال بیضوی نوع اوله.

[tex]\phi =\text{JacobiAmplitude}(u,k)=\int _0^u\text{dn}(u',k)du'[/tex]​

که انتگرال بیضوی نوع اول هم به این صورت تعریف میشه:

[tex]u=\text{EllipticF}(\phi ,k)=\int _0^{\phi }\frac{dt}{\sqrt{1-k^2\text{Sin}[t]^2}}[/tex]​

پس رابطه ی زیر رو میشه بدست آورد:

[tex]\phi =\text{EllipticF}^{-1}(u,k)=\text{JacobiAmplitude}(u,k)[/tex]​

من بلد نیستم

اینا رو از کجا بخونم ؟

یه منبعی ...

 

[astronomer_girl]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

طبق فرمولش که نباید تغییر بکنه!

 

[Nimbus]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

طبق فرمولش که نباید تغییر بکنه!

اون فرمول بر اساس جرم ثابت بوده.

 

[Backstreetboy]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

اون فرمول بر اساس جرم ثابت بوده.

پس سرکار بودیم!
بابا عرفان جون خودت که گفتی آب تو بطری داره میریزه پس چرا با جرم ثابت آزمایش کردی بابا!؟؟؟؟

 

[ErfanDK]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

من با جرم ثابت آزمایش نکردم.رابطه ی اول یک مطلب آموزشی (!) بود.برای اینکه روش بدست آوردن فرمول های اولیه رو نشون بدم.شاید بعضی ها باشن که دقیقا ندونن(مخصوصا دلیل و روش تقریب زدن) ولی برا شما که اینا معلوم بودن باید می رفتین از پست دومی می خوندید

 

[ErfanDK]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

من بلد نیستم
اینا رو از کجا بخونم ؟
یه منبعی ...

اینا رو لازم نیست بخونید،من خودمم زیاد بلد نیستم.یعنی به درد نمی خورن.باید صبر کنیم تا دانشگاه سال 2 به بعد

 

[Backstreetboy]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

اینا رو لازم نیست بخونید،من خودمم زیاد بلد نیستم.یعنی به درد نمی خورن.باید صبر کنیم تا دانشگاه سال 2 به بعد

 

[ErfanDK]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

پوزخند نداره که مگه غیر اینه؟!

 

[ErfanDK]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

خوب،هیچ کس همکاری نمی کنه اینجا.بعد هم می گید سوال بذارید تا بحث بکنیم
من آخرین حل این سوال رو می ذارم.
نکته ی نهایی اینه که طول آونگ در واقع فاصله ی مرکز جرم آونگ از نقطه ی آویزه.پس وقتی آب چکه می کنه مکان مر کز جرم هم تغییر می کنه.اول معادله ی اصلاح شده رو بدست میاریم.
معادله ی اصلی که باید نوشته بشه به این صورته:

[tex]\frac{d}{dt}\left(m \frac{d(L \theta )}{dt}\right)=-\text{mg} \text{Sin}[\theta ][/tex]​

که بعد از مشتق گیری داریم:

[tex]\overbrace{\text{mL}}^a \ddot{\theta }+\overbrace{\left(2m \dot{L}+\dot{m}L\right)}^c\dot{\theta }+\left(\text{mg}+\dot{m}\dot{L}+m \ddot{L}\right)\theta =0[/tex]​

[tex]\overset{\div \text{mL}}{\Longrightarrow }\ddot{\theta }+\left(\frac{2}{L}\dot{L}+\frac{1}{m}\dot{m}\right)\dot{\theta }+\overbrace{\left(\frac{g}{L}+\frac{1}{\text{mL}}\dot{m}\dot{L}+\frac{1}{L}\ddot{L}\right)}^{\omega _n{}^2}\theta =0[/tex]​

طبق روال پاسخ قبلی میرایی بحرانی خواهد بود:

[tex]c_c=2 a \omega _n=2\text{mL} \omega _n[/tex]​

و نسبت میرایی:

[tex]\zeta =\frac{c}{c_c}=\frac{c}{2\text{mL} \omega _n}[/tex]​

پس بسامد نوسانات میرا به این صورته:

[tex]\omega _{\text{damped}}=\omega _n\sqrt{1-\zeta ^2}=\omega _n\sqrt{1-\frac{1}{4}\left(\frac{c}{\text{mL} \omega _n}\right){}^2}=\sqrt{\omega _n{}^2-\frac{1}{4}\left(\frac{c}{\text{mL}}\right)^2}[/tex]​

[tex]\Longrightarrow \omega _{\text{damped}}=\sqrt{\left(\frac{g}{L}+\frac{1}{\text{mL}}\dot{m}\dot{L}+\frac{1}{L}\ddot{L}\right)-\frac{1}{4}\left(\frac{2}{L}\dot{L}+\frac{1}{m}\dot{m}\right)^2}[/tex]​

و از این دوره ی تناوب آونگ رو به صورت زیر بدست میاوریم:

[tex]T=\frac{2\pi }{\omega _{\text{damped}}}=\frac{2\pi }{\sqrt{\left(\frac{g}{L}+\frac{1}{\text{mL}}\dot{m}\dot{L}+\frac{1}{L}\ddot{L}\right)-\frac{1}{4}\left(\frac{2}{L}\dot{L}+\frac{1}{m}\dot{m}\right)^2}}[/tex]​

برای تحلیل دوره ی تناوب باید عملی رو انجام بدیم.ابتدا سیستم مختصات راست گوشه ای رو متصل به مرکز جرم اولیه آونگ مشخص می کنیم.محور z این آونگ همواره به طرف نقطه ی آویز می باشد.پس مرکز جرم این آونگ ابتدا با پایین آمدن مایع داخل به طرف پایین می آید و باعث میشه که [tex]+\dot{L}[/tex] داشته باشیم.در حالی که بعد از کم شدن مایع تا حدی مشخص این تغییر طول تغییر علامت می دهد و به صورت [tex]-\dot{L}[/tex] می شود.پس تغییرات دوره ی تناوب ثابت نیست.

حالا من یک سوال از شما دارم.به نظرتون با این تغییر علامت [tex]\dot{L}[/tex] دوره ی تناوب ایتدا کم و سپس زیاد میشه یا برعکس، ابتدا کم و سپس زیاد میشه(اصلاٌ مشکل نیست حدس زدنش)

 

[ErfanDK]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

برای اینکه تاثیر تخمین زدن برای خطی کردن معادله ی حرکت آونگ و دامنه ای که تقریب قابل قبول هست رو ببینید اینجا دو تا نمودار برای مقایسه گذاشتم.نظر بدین

 

[ermia.moamer]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

منظورتون اینکه جرم آونگ تغییر می کنه؟

 

[ErfanDK]

پاسخ : آونگ نه کاملا ساده!!! - یک سوال تئوری-عملی

منظور از تغییر جرم آونگ همون تغییر جرم جسمی هست که از ریسمان آویزانه.در ابتدای این مطلب توضیحاتی رو در این باره دادم