قاعده هوپیتال و هم ارزی

[Moha]

دوستان سومی و بالاتر(بعید می دونم سال پایین تر ها بدونن) در مورد حل حد های مبهم از دو روش هم ارزی و هوپیتال توضیح بدین،مرسی!!(الان دارم 10 استاد می خونم یه چیزایی نوشته،بعید می دونم بتونم درست و حسابی بفهمم!)

 

[Admin2]

پاسخ : قاعده هوپیتال و هم ارزی

دقیقا چی‌شو توضیح بدیم؟ یکم سوالتو جزئی تر بکن.

 

[Moha]

پاسخ : قاعده هوپیتال و هم ارزی

از سر تا ته اش!!
معلممون فقط اسمش رو گفته و رد شده!!

 

[trustme]

پاسخ : قاعده هوپیتال و هم ارزی

هم ارزی! برای اینکه درک کنین هم ارزی چیه باید بسط ماک لورن یا بسط تیلور رو بدونین! برای دوسنتن این بسط هم باید مشتق رو بدوینم!
برای هوپیتال هم لازمه که مشتق بدونیم و اعداد مختلط ندونیم!!

هم ارزی
بسط تیلور
یکی از روش های تقریب زدن هر تابع (مخصوصا مثلثاتی ها!) استفاده از این روش بسط دادن است! روش بسط اینطوریه که:

sigma(i=1 to n){ (f(i){x}/i!)*(x-x0)^i }
​

f(i){x} می شه مشتق iم تابع f روی متغیر x ! این بسط حول نقطه X0 برای تابع f{x} است! حالا اگه X0=0 باشه، می شه حول مبدا و می شه بسط تیلور!
هم ارزی ها هم از همین روش استفاده می کنند!
مثلا بسط sin می شه :
x-x^3/6+x^5/120 ...
و این چند جمله ای با سینوس در مبدا هم مقدار می شه!!

قاعده هوپیتال تقسیم مشتق صورت به مشتق مخرج است! یعنی از صورت و مخرج مشتق می گیریم!
(یه جورایی از عامل صفر شوندشون فاکتور می گیریم و ساده می کنیم!) اگه باز هم صفر/صفرم شد یا بی نهایت بی نهایتم، باز هم هوپیتال رو ادامه می دیم ... !!

 

[Admin2]

پاسخ : قاعده هوپیتال و هم ارزی

هوپیتال :

میخواهیم حد تقسیم دوتابع رو به دست بیاریم. یعنی حد ( تابع f تقسیم بر تابع g) وقتی که x به سمت a میل می کنه. .

یک راهش اینه که به صورت روش های معمولی که حد رو میگرفتین حساب کنید. راه دوم استفاده از قاعده هوپیتاله.

قاعده هوپیتال میگه که حد ( تابع f تقسیم بر تابع g) وقتی که x به سمت a میل می کنه برابره با تقسیم مشتق با f بر مشتق تابع g.

فقط چهار شرط داره :

1. g و f مشتق پذیر باشند.
2. کسر 0/0 یا بی نهایت تقسیم بر بی نهایت نباشه.
3. تابع g(x) در همسایگی a صفر نباشه.
4. lim f'(x)/g'(x) موجود باشه. یعنی حد تقسیم مشتق هاشون.

( ببخشید یکم بد شد نوشته هام. باید با دقت بخونی. ادیتور اس ام اف ضعیفه ! معلم ما در این حد گفته و اصولا این برای کنکور و پیش کافیه.)

 

[Moha]

پاسخ : قاعده هوپیتال و هم ارزی

هوپیتال رو فهمیدم،مرسی اما هم ارزی رو نه!!

 

[Admin2]

پاسخ : قاعده هوپیتال و هم ارزی

هم ارزی :

حد دوتابع در میل کردن به چیزی باهم برابر باشه. پس میشه به جای هم قرار دادشون.

مثلا sinx و x هر دوشون حدشون وقتی که ایکس به صفر میل کنه یکیه. پس میتونیم توی حد گرفتن به جای همدیگه قرار بدیمشون.

دقت بشه که در صورتی که ضرب و جمع باشه چیزی که می خوایم ازش حد بگیریم میتونیم هم ارزی استفاده کنیم تو تیکه های مختلفش اما توی جمع و منها شرایط خاصی داره و بسیار با دقت باید عمل بشه.

کافیه یا بازم بگم؟ سوال ؟

 

[trustme]

پاسخ : قاعده هوپیتال و هم ارزی

اگه فکر می کنید توضیح کامل نیست، به مطالب کوتاهی در رابطه با "بسط تیلور" و "هم ارزی" مراجعه کنید!
اگه تعریف بسط تیلور رو که بالا به صورت سیگمای مشتق انم گفتم در نظر بگیری، به یه چند جمله ای می رسی که این چند جمله ای در نقطه ی خاصی هم مقدار با تابع شماست (تابعت هرچی که می خواد باشه! مهم نیست!) حالا این چند جمله رو در نزدیکای اون نقطه مورد نظر، به حای تابع مشکل ساز قرار می دیم و مقدار حد رو بدست میاریم!

(مهم اینه که درک کنیم بسط تیلور چیه!)

 

[Admin2]

پاسخ : قاعده هوپیتال و هم ارزی

بسط تیلور یک سری جمله است که باهم جمع شده که دقیقا برابر یک چیز دیگست. البته بی شمار جمله هستند بسط تیلور.
مثلا سینوس بسط تیلور خاص خودش رو داره. موقع استفاده از بسط تیلور برای هم ارزی ما تقریب میزنیم. یعنی از جمله های 1 یا 2 یا 3 به بعد رو در نظر نمیگیریم. چون در هردوحالت جواب یکی میشه وقتی که x به عدد مشخصی میل کنه. حالا اینکه به چند جمله ما نیازداریم راه های تشخیص خودش رو داره که بماند حالا. در سطح دبیرستان بیشتر از دو جمله از بسط تیلور لازم نمیشه.

 

[میناا]

پاسخ : قاعده هوپیتال و هم ارزی

(به توان 3)sin~x-1/6x
)به توان 2)cos x~1-1/2x
(به توان 3)tanx~x+1/3x

 

[میناا]

پاسخ : قاعده هوپیتال و هم ارزی

یاد تون باشه وقتی می تونید از هم ارزی x استفاده کنید اگه با هم ارزی جملات بروند بهتره از هم ارزی های پست قبلی استفاده کنید در ضمن اگه منها رو در هم ارزی سینوس به جمع تبدیل کنید می شه Arc sinو اگه علامت TAN رو عوض کنید می شه Arc tan

 

[trustme]

پاسخ : قاعده هوپیتال و هم ارزی

من اصولا از حالت های خاص خوشم نمیاد ... بسط تیلور رو در حالت کلی برای هر تابعی در هر نقطه ای نوشتم دیگه ...

sigma(i=1 to n){ (f(i){x0}/i!)*(x-x0)^i }
​

سیگما 1 تا n، مشتق iم تابع f در نقطه مورد نظر تقسیم بر i فاکتوریل ضرب در (x- نقطه مورد نظر)به توان i

 

[سارا]

پاسخ : قاعده هوپیتال و هم ارزی

آقاي بذركارلازم نيست فقط به كليات توجه كنيم برا دانش آموزاني مثل ما استثنا هم لازمه
ممنون ميناجان خيلي استفاده كرديم

 

[trustme]

پاسخ : قاعده هوپیتال و هم ارزی

آخه من اون موقع که این رو توی دبیرستان حفظ می کردم می گفتن این یه جور تخمین زدنه ... الان بهش پی بردم چجور تخمین زدنه و چرا اصلا این تخمین درسته ... حالت کلی رو نوشتم تا اگه کسی مثه من می پرسید "چرا؟" به جواب برسه. تشکر به عمل می آوریم