ErfanDK
کاربر حرفه‌ای
- ارسال‌ها
- 482
- امتیاز
- 41
- نام مرکز سمپاد
- شهید بهشتی
- شهر
- ارومیه
پاسخ : قانون گاوس
خوب من برای این که اثباتم استاندارد باشه،اثبات ها رو دوباره در واحدهای SI می نویسم
اول شار گذرنده از یک جزء مساحت:
تعریف زاویه ی فضایی و متعاقبا بازنویسی شار گذرنده:
و انتگرال گیری برای محاسبه ی شار کل
برای توزیع گسسته ی بار:
و توزیع پیوسته ی بار:
حالا انتگرال بالا رو به وسیله ی قضیه ی گاوس (قضیه ی دیورژانس) به انتگرال حجمی تبدیل می کنیم
پس خواهیم داشت:
یا
و در نهایت با توجه به توضیحات اثبات اولی داریم:
خوب من برای این که اثباتم استاندارد باشه،اثبات ها رو دوباره در واحدهای SI می نویسم
اول شار گذرنده از یک جزء مساحت:
[tex]\overset{\to }{E}\cdot \hat{n}da=\frac{q}{4\pi \epsilon _0}\frac{\overset{\to }{r}}{r^3}\cdot \hat{n}da=\frac{q}{4\pi \epsilon _0}\frac{\hat{r}}{r^2}\cdot \hat{n}da[/tex]
تعریف زاویه ی فضایی و متعاقبا بازنویسی شار گذرنده:
[tex]\text{cos$\theta $} da=r^2 d\Omega [/tex]
[tex]\overset{\to }{E}\cdot \hat{n}da=\frac{q}{4\pi \epsilon _0}\frac{\text{cos$\theta $}}{r^2}da=\frac{q}{4\pi \epsilon _0r^2}r^2d\Omega =\frac{q}{4\pi \epsilon _0}d\Omega [/tex]
و انتگرال گیری برای محاسبه ی شار کل
[tex]\oint _{\mathcal{S}}\overset{\to }{E}\cdot \hat{n}da=\frac{q}{4\pi \epsilon _0}\oint _{\mathcal{S}}d\Omega =\frac{q}{\epsilon _0}[/tex]
برای توزیع گسسته ی بار:
[tex]\oint _{\mathcal{S}}\overset{\to }{E}\cdot \hat{n}da=\oint _{\mathcal{S}}\sum _i \overset{\to }{E}_i\cdot \hat{n}da=\sum _i \oint _{\mathcal{S}}\overset{\to }{E}_i\cdot \hat{n}da=\sum _i \frac{q_i}{\epsilon _0}[/tex]
و توزیع پیوسته ی بار:
[tex]\oint _{\mathcal{S}}\overset{\to }{E}\cdot \hat{n}da=\int _{\mathcal{V}}\frac{\rho \left(\overset{\to }{r}\right)}{\epsilon _0}dV[/tex]
حالا انتگرال بالا رو به وسیله ی قضیه ی گاوس (قضیه ی دیورژانس) به انتگرال حجمی تبدیل می کنیم
[tex]\oint _{\mathcal{S}}\overset{\to }{E}\cdot \hat{n}da=\int _{\mathcal{V}}\overset{\to }{\nabla }\cdot \overset{\to }{E}dV[/tex]
پس خواهیم داشت:
[tex]\int _{\mathcal{V}}\overset{\to }{\nabla }\cdot \overset{\to }{E}dV=\int _{\mathcal{V}}\frac{\rho \left(\overset{\to }{r}\right)}{\epsilon _0}dV[/tex]
یا
[tex]\int _{\mathcal{V}}\left(\overset{\to }{\nabla }\cdot \overset{\to }{E}-\frac{ \rho \left(\overset{\to }{r}\right)}{\epsilon _0}\right)dV=0[/tex]
و در نهایت با توجه به توضیحات اثبات اولی داریم:
[tex]\overset{\to }{\nabla }\cdot \overset{\to }{E}\left(\overset{\to }{r}\right)=\frac{ \rho \left(\overset{\to }{r}\right)}{\epsilon _0}[/tex]
