گاز تقریبا کامل!

[arashbm]

خوب من چن وخ پیش یه پروژه رو شروع کردم محض دست گرمی یهو دیدم شد چنپ هزار خط کد!
اولش قرار بود شبیه سازی گاز کامل بشه! اما بعدش به ذرات اندازه اختصاص دادم و یه بخش برا برخورد نوشتم!
order تعداد ذرات ۱۰ به توان ۵ ذره‌س!(یوهو )
order زمان بین هر فریم با فریم بعدی ۱۰ به توان منفی ۹ ثانیه‌س(چخ‌قدر کم )
طبیعتا در فضای ۳ بعدی. خروجی گرافیکی هم نداره!
زبانشم python هست چون از اول با پایتون شروع کردم حال نداشتم پورت کنم رو C
در کل تجربه جالبی بود هرکی source خواست پ.خ. بزنه واسش بفرستم.
حالا من این وسط به یه سری کمیت ها جالب بر خوردم!
دما و سرعت که خودشون معلومه چی هستن ولی مقادیر جالبی داشتن!
یه چیزی تعریف می‌شه به عنوان مسافت آزاد میانگین!
و...

اول: تعریف گاز تقریبا کامل:
همان گاز کامل است فقط ذره ها با هم برخورد می‌کنن و براشون اندازه‌ی مختصر تعریف می‌شه!

حالا رابطه دما و سرعت ذرات رو بررسی می‌کنیم!
یه جور میانگین تو آمار داریم به نام میانگین مربعات یعنی تمام v ها رو به توان ۲ برسونید و با هم جمع کنید سپس تقسیم بر تعداد کنید!(توجه: هرکی به فکرشم خطور کنه که میانگین مربعات با مربع میانگین برابره باید ریاضیاتشو قوی کنه!!) ازین به بعد بهش می‌گیم Vrms^2 (!!! خوب فک نکنم لازم باشه بگم Vrms میشه رادیکال میانگین مربعات!)
---
تعریف فشار در نظریه جنبشی:
باید با کمیتی به نام اندازه حرکت(F*deltaT=P=m*deltaV) آشنا باشین.
فرض کنید گاز در ظرفی به طول L قرار دارد و سرعت ذره خاصی در راستای x برابر Vx است
فرض کنید ذره به دیواره‌ی ۱ برخورد می‌کند بر می‌گردد به آن یکی دیوار می‌خورد و دوباره به دیوار ۱ می‌خورد
2L=Vx*t
t=2L/Vx
نیروی میانگین وارده بر دیوار ۱ از ذره:

[tex]F\Delta t=m\Delta V[/tex]

[tex]\Delta P=mV_x-(-mV_x)=2mV_x[/tex]

[tex]F=\frac{2mV_x*V_x}{2L}=\frac{mV_x^2}{L}[/tex]
ok!
و برای مجموع همه‌ی ذره ها:
[tex]F_{total}=(\frac m L)({V_{x1}}^2+{V_{x2}}^2+{V_{x3}}^2+...+{V_{xn}}^2)[/tex]
فشار = نیرو تقسیم بر مساحت
[tex]p=\frac F A[/tex]
[tex]P=\frac {F_{total}} {L^2}[/tex]
[tex]=(\frac {m} {L^3})({V_{x1}}^2+{V_{x2}}^2+{V_{x3}}^2+...+{V_{xn}}^2)[/tex]
=>
[tex]=(\frac {m*n} {L^3})(\frac {{V_{x1}}^2+{V_{x2}}^2+{V_{x3}}^2+...+{V_{xn}}^2} {n})[/tex]
ok
و داریم:
m*n=جرم کل=[tex]M_{total}[/tex]
[tex]\frac {M_{total}} {L^3}= \rho[/tex]
[tex]\frac {{V_{x1}}^2+{V_{x2}}^2+{V_{x3}}^2+...+{V_{xn}}^2} n={V_{x_{rms}}}^2[/tex]
=>
[tex]p=\rho*{V_{x_{rms}}}^2[/tex]
[tex]V^2={V_x}^2+{V_y}^2+{V_z}^2[/tex]
ok!
فک کنم بدیهی باشه که به صورت آماری [tex]V_x^2=V_y^2=V_z^2=(\frac 1 3) V^2[/tex]
=>
[tex]p=\rho*{V_{rms}}^2*(\frac 1 3)[/tex]
ok!
---
تعریف دما در نظریه جنبشی:
حالا دو طرف رو در [tex]L^3[/tex](حجم!!) ضرب می‌کنیم!
=>
[tex]P L^3=(\frac 1 3) \rho L^3 {V_{rms}}^2[/tex]
[tex]\rho L^3=M(molar mass)*N(number of moles)[/tex]
[tex]PL^3=(\frac 1 3)NM{V_{rms}}^2[/tex]
از طرفی یه عده علاف به صورت تجربی تو ازمایشگاه حساب کردن که:
[tex]PL^3=NRT[/tex]
=>
[tex]NRT=(\frac 1 3)NM{V_{rms}}^2[/tex]
[tex]T=(\frac 1 {3R})M{V_{rms}}^2[/tex]
[tex]T=(\frac 2 {3R})*(\frac 1 2)M{V_{rms}}^2[/tex]
[tex]T=(\frac 2 {3R})\bar{K}[/tex]
ok!
[tex]\bar{K}[/tex] هم میانگین انرژی جنبشی گاز است!
R هم ثابت جهانی گازهاست
پس T با میانگین انرژی جنبشی گار رابطه خطی دارد!


مثال ۱)الف) انرژی جنبشی میانگین ذرات گاز اکسیژن در دمای ۲۷ درجه سانتی گراد؟R=8
1/12=2/3R
Kavr=12*300=3600
ب)Vrms همان گاز؟
Vrms^2*M*(1/2)=Kavr
Vrms^2=2*3600/0.032=225000
Vrms=475m/s

یکم زیاد به نظر می‌رسه!

1700 km/h
ok!!
Vrms هم که یه جور میانگین سرعت هستش!
یعنی هرکدام از این ذره ها با این سرعت حرکت می‌کنن!

فعلا کسی حال داشت Vrms برای مولکولهای هیدروژن رو در ۲۷ درجه حساب کنه!!!

 

[arashbm]

پاسخ : گاز تقریبا کامل!

جواب سوال:
[tex]300 =\frac 2 {3R}\bar{K}[/tex]
[tex]\bar K =450R[/tex]
[tex]\frac 1 2 M {v_{rms}}^2=450R[/tex]
M=0.001
R=8.31
[tex]V_{rms}=\sqrt{900000R}=2734.77 m s^{-1} = 9845.17 km s^{-1}[/tex]=

 

[Nimbus]

پاسخ : گاز تقریبا کامل!

من که خیلی خوشم اومد !!

 

[arashbm]

پاسخ : گاز تقریبا کامل!

من که خیلی خوشم اومد !!

خدارو شکر یک قیدبک گرفتیم! فک کنم کلا ۳ نفر در کل بخش فیزیک فعالن!
---------
توزیع سرعت
در ادامه‌ی نوشتن یک شبیه سازی برای گاز تقریبا کامل حالا فرض کنید می‌خواهیم مقداری گاز تعریف کنیم! طبیعتا باید مقادیر مربوط به خواص ذره را مقدار دهی اولیه کنیم!
خواص یک ذره خاص از گاز:
۱-جرم
۲-شعاع(ذرات را کره‌ فرض می‌کنیم)
۳-بردار مکان
۴--بردار سرعت

جرم ذره که مشخص است! مثلا یک ذره گاز هیدروژن [tex]10^{-3}[/tex] کیلوگرم در مول یا [tex]1.66 \times 10^{-27}[/tex] کیلوگرم به ازای هر ذره است!
شعاع ذره هم که مشخص است.
مکان ذره هم از ورودی های برنامه است اگر بخواهیم همگن باشد باید به صورت تصادفی در تمام نقاط پراکنده باشند!
می‌ماند بردار سرعت! خوب بردار سرعت دیگر مثل بردار مکان نیست که بگوییم اجزایش بین ۰ و حداکثر به صورت تصادفی توزیع شده. چون اصولا حداکثری وجود ندارد! آن چه که به نظر می‌رسد اینست که نمودار تعداد ذرات با یک سرعت خاص (بین [tex]v[/tex] و [tex]v+dv[/tex]) وقتی به سمت بینهایت می‌رویم به مقادیر کوچک میل کند یا در جایی صقر شود!
البته یک راه برای بدست آوردن این نمودار(جدا از آزمایش و حساب کردن!) شبیه سازی است!! اگر حالت خاصی وجود داشته باشد که ذرات در آن حالت از نظر آماری به تعادل و پایداری برسند آن حالت مورد نظر ماست!
خوب یک نمونه این شبیه سازی را می‌توان اینجا دید!

نمودار تعداد ذرات-سرعت پس از رسیدن به تعادل:

---
سوال: اگر بعد از مدتی مولکولها به خودی خود به این حالت می‌رسند و در آن پایدار می‌شوند چه نیازی به مقدار دهی اولیه بر اساس این پخشی است؟

جواب: درست است که ذرات به این حالت می‌رسند! منتها برای برنامه ای که برای شبیه سازی [tex]10^{-6}[/tex] ثانیه از دنیای واقعی ۴ ساعت زمان می‌برد زمان رسیدن به این حالت از order چندین روز است! پس باید کمی به برنامه در رسیدن به این حالت کمک کنیم!
---
سوال: این حالت اسم هم دارد؟!
جواب: بله! اسم هم دارد! به آن توزیع سرعت ماکسول(Maxwell Distribution of Speed) است.(توزیع انرژی ماکسول هم داریم! تفاوت اساسی ندارند تا جایی که می‌دانم!)
---

حالا کمی حساب!
اگر کمی با احتمال پیوسته کار کرده باشید می‌توانید حدس بزنید که تعداد بردارهای ممکن برای سرعت که به اندازه‌ی v هستد با مساحت کره ای به شعاع v رابطه دارد!

---
سوال: مگر تعداد بردارهای به اندازه v بی‌نهایت تا نیست؟!
جواب بله هست! منتها بی‌نهایت داریم تا بی‌نهایت! به مثال پایین توجه کنید!

مثال: یک بردار را به صورت تصادفی انتخاب می‌کنیم! میدانیم که طول آن [tex]v_1[/tex] یا [tex]v_2[/tex] است! احتمال [tex]v_1[/tex] بودن چند برابر [tex]v_2[/tex] بودن است؟
جواب:اگر الان گفتید برابر است که نیاز به دوره‌ی دروستان دارید! وگرنه می‌دانید که:
[tex]\frac {P(v_1)} {P(v_2)} =\frac {S_1} {s_2}=\frac {4\pi {v_1}^2} {4\pi {v_2}^2}[/tex]
---

پس تعداد بردارهای با طول v داریم
[tex]n(v) \propto 4\pi v^2[/tex]
و احتمال اینکه یک ذره انتخابی سرعت [tex]v[/tex] داشته باشد با توجه به قانون برادر بولتزمان:
[tex]n(v) \propto e^{-mv_x^2/(2kT)}[/tex]
پس تعداد ذرات در فاصله‌ی [tex]v[/tex] و [tex]v+dv[/tex] اند را می‌توان از رابطه‌ی زیر بدست آورد:
[tex]n(v) dv = ( \frac {m}{2 \pi k T}) ^{3/2} 4 \pi v^2 e^{-mv^2/(2kT)} dv[/tex]
(البته من نفهمیدم [tex]( \frac {m}{2 \pi k T}) ^{3/2}[/tex] از کجا اومده! ولی خوشحال می‌شم یکی کمکم کنه بفهمم!)

 

[ErfanDK]

پاسخ : گاز تقریبا کامل!

خوبه
یک +

 

[s`dni]

پاسخ : گاز تقریبا کامل!

باحاله ! +