مرحله دوم المپیاد ریاضی [1389]

[arash_anish]

خب روز اول هم تموم شد حالا بگین ببینم چی کار کردید سخت بود یا آسون!؟ :)

 

[سیاوش]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

برای من که سال اول بودم سخت بود فقط تو نستم سوال یک را حل کنم.

 

[arash_anish]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

بازم خوبه .
ولی چرا سوال 3 رو حل نکردی آسون بود که (حتی برا شما اولی ها)!!؟؟

 

[سیاوش]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

نتونستم میشه راه حلشو بگی!

 

[arash_anish]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

جواب سوال دو (اینجور که خودم نوشتم!) :
ببین کافیه یه پاره خط (دو نقطه) از n نقطه انتخاب کنی. حالا یه قاعده با طول مشخص داریم.
بعد برای اینکه مساحت مثلث یک بشه باید یه نقطه با ارتفاعی مشخص انتخاب کنی. اول در نیمه ی بالای پاره خط (چون این پاره خط صفحمونو دو تیکه میکنه)
حالا چون گفته حداکثر تعداد رو می خواد پس میشه گفت از هر دو نقطه ای یه خط میگذره.
پس اگه یه خط موازی با پاره خط از نقطه ی اول بکشیم میرسیم به یه نقطه دیگه که نقطه ی جدید همون ارتفاع نقطه ی اول رو از پاره خط داره.
پس تو نیمه بالایی شد دوتا پس نیمه پایینی هم دو تا!
خوب حالا تعداد کل میشه:
n(n+1)/6 *4
که میشه حکم!!

 

[سیاوش]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

میشه ترتیب سوالات را بگی این سوال دوم مابود×!

 

[سیاوش]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

سوال اول a ,b بود
سوال 2 : n نقطه
سوال 3 : هندسه بود

 

[arash_anish]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

اوه ببخشید منظورم سوال دو بود!

 

[سیاوش]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

تو هر 3تا را حل کردی ؟

 

[arash_anish]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

نه متاسفانه سوال سه رو نتونستم
دیگه مخم نمیکشید اما این آخراش یه چیزایی به نطرم رسید که وقت تموم شد!!

 

[سیاوش]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

دومی هستی ؟

 

[eyekay]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

سوال یکو حل کردی؟
چجوری؟

 

[سیاوش]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

سوال یک را چطوری حل کردی ؟
من به دست آوردم که a,b هر 2 زوجن بعد از برهان خلف گفتم اگه بخواد مربع کامل بشه باید این 3 عدد اعداد فیساغورثی باشند که یکی ز.ج و دیگری فرد در اعداد فیثاغورثی زوجه از فرده همیشه بزرگتره ولی انجا بر عکسه و به تناقض می رسیم!

 

[eyekay]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

چرا اینطوریه؟حلت غلطه

 

[سیاوش]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

زوج بودن a, bرا قبول داری؟

 

[arash_anish]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

سوال یک را چطوری حل کردی ؟
من به دست آوردم که a,b هر 2 زوجن بعد از برهان خلف گفتم اگه بخواد مربع کامل بشه باید این 3 عدد اعداد فیساغورثی باشند که یکی ز.ج و دیگری فرد در اعداد فیثاغورثی زوجه از فرده همیشه بزرگتره ولی انجا بر عکسه و به تناقض می رسیم!

ببین من دقیقا نمیدونم چطور حل کردی بعضی جاها از راه حلت درسته ولی. نمره کامل نمیدن!
با برهان خلف میگی که هست بعد ثابت کن نیست!!!
الان میگم چطور!

 

[arash_anish]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

زوج بودن a, bرا قبول داری؟

نه راه حلت غلطه. مثلا اعداد 5 و 12

 

[eyekay]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

چرا درست میگه یه خرده دقت کنی می فهمی زوجن

 

[سیاوش]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

a2b2+2ab+1+a2-2ab+b2=(ab-1)(ab+1)+(a-b)(a+b)+2(1+b2
این عبارت همواره زوجه!
چون یا ab-1 *ab+1 فرده در نتیجه a-b*a+b زوجه درکل میشه فردو بر عکس

 

[arash_anish]

پاسخ : المپیاد مرحله دوم 28 (نوبت اول)

جواب سوال یک خیلی طولانی ولی مختصر میگم:
ببینید اول فک کنید که مربع کامل هست. و عبارت رو خلاصه کنید که میشه: (a^2+1)(b^2+1)
حالا چند حالت داره که بخواد مربع کامل باشه 1-هر دو مربع کامل باشن. (که نمیتونن باشن چون a وb هر دو طبیعی اند) 2-هر دو مساوی باشن (که نیستن) 3-اینکه یه عامل مشترک داشته باشن.
حالا کافیه ثابت کنین که عامل مشترکشون 1 هست.( باید از قوانین عاد پیش برید تا برسید به اینکه d=1,2 که برای 2 غلط در میاد چون فرض سوال رو نقض میکنه)