حرکت روی سطوح مشخص

[ErfanDK]

فرض کنید سطحی داریم به معادله ی [tex]f(x,y,z)=const;[/tex] که در تمام دامنه پیوسته و مشتق پذیره.برای راحتی حل این مساله به حای سطح روی حالت دو بعدی یعنی منحنی بحث می کنیم([tex]y=f(x)[/tex]).حالا فرض کنید که چرخی داریم که روی این منحنی حرکت می کنه.شعاع این چرخ [tex]R[/tex] هست.در قسمت اول این سوال روی جزئیات حرکت بحث نمی کنیم.مقصود قسمت اول سوال اینه.شرطی برای معادله ی منحنی [tex]f(x)[/tex]بیابید بطوری که این چرخ در هر نقطه از این منحنی فقط در یک نقطه با سطح تماس داشته باشه.فعلا جزئیات حرکت مهم نیست و چرخ روی سطح می مونه.این شرط رو بیابید و روش بحث کنید.

 

[Nimbus]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

فکر کنم حالات خاصی داره. ولی همه ی اون ها در اطراف نقاط عطف اتفاق می افتن. باید یه شرط برای این نقاط بدست بیاریم.

 

[ErfanDK]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

فکر کنم حالات خاصی داره. ولی همه ی اون ها در اطراف نقاط عطف اتفاق می افتن. باید یه شرط برای این نقاط بدست بیاریم.

اینجا بحث روی کلی ترین حالاته نه حالات خاص البته با شرط پیوسته و مشتق پذیر بودن. اتفاقا نقاط عطف اصلا مشکلی ایجاد نمی کنن. در واقع نقاط بحرانی ایجاد اشکال می کنن. توی نقطه ی عطف تقعر(مشتق دوم تابع) تغییر علامت می ده ولی توی نقاط بحرانی یا شیب صفر میشه یا شیب وجود نداره(مشتق اول) ولی شرط اولمون این رو رد می کنه.پس بحث روی نقاط بحرانی می تونه انجام بگیره ولی سوال فقط نقاط بحرانی رو نخواسته بلکه همه نقاط منحنی رو خواسته.

 

[Nimbus]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

من یه شرطی پیدا کردم البته خیلی گنگه و نارساست. توی این شرط باید معادله ی مسیر مرکز دایره و معادله ی مسیر خودمون رو داشته باشیم و اگر این دو تا و شعاع رو داشته باشیم مسئله حل شده :

فرض کنید که معادله ی مسیر همون y=f(X) و معادله ی مرکز به صورت :

[tex]y_{c}=\delta (x)[/tex]​

باشه. در این صورت معادله ی زیر به ازای تمام x ها باید یک جواب خاص برای دلتا x داشته باشه :

تعریف بالا کمی گنگه. در واقع خیلی گنگه. باید معادله ی مسیر با معادله ی مرکز دایره هماهنگ باشه. ضمنا یه حدس :معادله ی مسیر در نقاطی که مشتق پذیر نیست در اون وضعیت دایره دو تا نقطه تماس با f داره.

 

[ErfanDK]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

لازم نیست در همه جا این بررسی بشه.یعنی باید اثبات کرد که لازم نیست.من روشت رو کاملا بررسی نکردم و ترجیح می دم خودت بررسی کنی.برای مثال روی این تابع کار می کنیم: تابع مورد نظر تابع درجه ی دو [tex]y=a x^2+b x+c[/tex] هست که میشه برای راحتی با تغییر مبدا مختصات تبدیلش کرد به [tex]y=a x^2[/tex].شرطی که من برای این تابع آوردم تا خواسته ی مسئله رعایت بشه این بود:

[tex]\left | a \right | \leq \frac{1}{2R}[/tex]​

همه ی این شرط ها هم اثبات دارن.حالا آیا روش شما هم این شرط رو میده؟ اگر آره جزئیات کارت رو بنویس.

 

[ErfanDK]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

واقعا همکاری و توجه و علاقه در حد بالایی قرار داره.جوب اینم تا آخر ماه می گذارم ولی دیگه بعد از اون به ندرت اگر سوالی مطرح کنم اینجا X-(

 

[شذس]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

اگر معادله ی حرکت مر کز دایره موازی با تابع باشه دیگه مشکلی نداره یعنی چرخ همیشه در یک نقطه با تابع تماس داشته

 

[شذس]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

شاید شرط کلی این باشه تغیرات مشتق روی هر بازه I از از تانزانت خارج قسمت تقسیم طول منحنی تابع بر I بر R دایره کمتر باشه

 

[Nimbus]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

اگر معادله ی حرکت مر کز دایره موازی با تابع باشه دیگه مشکلی نداره یعنی چرخ همیشه در یک نقطه با تابع تماس داشته

اینو میدونستیم. ولی این یه حالت خاصه.

 

[شذس]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

اگه شرطی رو که گفتم تبدیل معادله دیفرانسیل کنی هر جواب از معادله باید یه همچین تابعی بشه

 

[شذس]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

البته برای تبدیل اون باید آنالیز 1 آنالیز 2 آنالیز پیشرفته بدونم تا بتونم معادله کلی رو در بیارم ولی یه دانشجو ریاضی محض باید بتونه حلش کنه
این تابستون 1 2 رو دارم میخونم شاید بعدش بتونم حلش کنم خلاصش مربوط به بحث توابع متعامد میشه

 

[شذس]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

آقا فرمول چجوری میزارین؟تو ورد نوشتمش ولی کپی نمیشه؟

 

[شذس]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

خوب چون فرمول نمیتونم بنویسم راه حل رو مینویسم
فرض کنیم دایره ای به شعاع R داره روی تابع f حرکت میکنه برای سهولت کار نیم دایره پایین دایره رو فرض میکنیم تا تابع باشه(بدون کاسته شدن از کلیت چون روی تابع حرکت میکنیم پس نیم دایره پایینی همیشه متصله)
حالا میتونیم بگیم که مشتق در محل تماس دایره مماس خود دایره هم هست و از طرفی مختصات مرکز دایره رو هم میشه از روی مقدار تابع شیب و شعاع دایره حساب کرد
حالا پس به ازای هر x یه yداریم و یه مرکز دایره حالا اگر yزگوند تابع از مال دایره کمتر بود (یا منفی بود یا مثبت بود ولی کوچکتر از دایره(مال دایره تو نیم دایره پایین همیشه مثبته))دایره میتونه روی تابع حرکت کنه اگر این شرایط برای نیم دایره بالای دایره هم صادق بود دایره از هر دو طرف منحنی میتونه روش راه بره
به عنوان مثال هر دایره مستقل از شعاعش میتونه طرف بالای هر تابع با yزگوند نامثبت رو طی کنه
از شعاع دایره به عنوان معیاری برای تغیرات yپرایم یا همون yزگوند تعبیر آورده شده
این ساده ترین تعبیر ریاضی از این مطلب با این الگوریتم یه بچه 3 دبیرستانی هم میتونه مسئله رو حل کنه قرار نیست برای هر مطلبی آدم کلی فرمول عجیب غریب بنویسه اتفاقا هر چی الگوریتم سادهتر باشه احتمال خطا توش کمتره(خطاب به همیلتون)

 

[Nimbus]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

خوب چون فرمول نمیتونم بنویسم راه حل رو مینویسم
فرض کنیم دایره ای به شعاع R داره روی تابع f حرکت میکنه برای سهولت کار نیم دایره پایین دایره رو فرض میکنیم تا تابع باشه(بدون کاسته شدن از کلیت چون روی تابع حرکت میکنیم پس نیم دایره پایینی همیشه متصله)
حالا میتونیم بگیم که مشتق در محل تماس دایره مماس خود دایره هم هست و از طرفی مختصات مرکز دایره رو هم میشه از روی مقدار تابع شیب و شعاع دایره حساب کرد
حالا پس به ازای هر x یه yداریم و یه مرکز دایره حالا اگر yزگوند تابع از مال دایره کمتر بود (یا منفی بود یا مثبت بود ولی کوچکتر از دایره(مال دایره تو نیم دایره پایین همیشه مثبته))دایره میتونه روی تابع حرکت کنه اگر این شرایط برای نیم دایره بالای دایره هم صادق بود دایره از هر دو طرف منحنی میتونه روش راه بره
به عنوان مثال هر دایره مستقل از شعاعش میتونه طرف بالای هر تابع با yزگوند نامثبت رو طی کنه
از شعاع دایره به عنوان معیاری برای تغیرات yپرایم یا همون yزگوند تعبیر آورده شده
این ساده ترین تعبیر ریاضی از این مطلب با این الگوریتم یه بچه 3 دبیرستانی هم میتونه مسئله رو حل کنه قرار نیست برای هر مطلبی آدم کلی فرمول عجیب غریب بنویسه اتفاقا هر چی الگوریتم سادهتر باشه احتمال خطا توش کمتره(خطاب به همیلتون)

از این جا استفاده کن :

http://www.codecogs.com/components/equationeditor/equationeditor.php
ضمنا" فیزیک بی رابطه یعنی هیچ. ما این جا به ساده سازی کاری نداریم. میخوایم مفهوم رو خوب برسونیم.

 

[ErfanDK]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

اگر معادله ی حرکت مر کز دایره موازی با تابع باشه دیگه مشکلی نداره یعنی چرخ همیشه در یک نقطه با تابع تماس داشته

این مشکلی رو حل نمی کنه.من معادله ی دایره ای رو می زارم که در یک نقطه [tex](x_p,f(x_p)[/tex] بر دابره مماسه ولی ممکنه که در نقاط دیگه ای هم منحنی رو قطع کنه.ولی مهم پیدا کردن شرطیه که مانع این بشه.

[tex]C(C,R)\text{:=} \left(x-x_c\right){}^2+\left(y-y_c\right){}^2=R^2[/tex]​

معادله ی دایره ای هست که همیشه روی منحنی قرار داره که در اون:

[tex]x_c\equiv \frac{x_p+f'\left(x_p\right){}^2 x_p-f'\left(x_p\right)\sqrt{\left(1+f'\left(x_p\right){}^2\right)R^2}}{1+f'\left(x_p\right){}^2}[/tex]​

[tex]y_c\equiv \frac{f\left(x_p\right)+f'\left(x_p\right){}^2f\left(x_p\right)+\sqrt{\left(1+f'\left(x_p\right){}^2\right)R^2}}{1+f'\left(x_p\right){}^2}[/tex]​

 

[ErfanDK]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

... حالا اگر yزگوند تابع از مال دایره کمتر بود (یا منفی بود یا مثبت بود ولی کوچکتر از دایره(مال دایره تو نیم دایره پایین همیشه مثبته))دایره میتونه روی تابع حرکت کنه اگر این شرایط برای نیم دایره بالای دایره هم صادق بود دایره از هر دو طرف منحنی میتونه روش راه بره...
...از شعاع دایره به عنوان معیاری برای تغیرات yپرایم یا همون yزگوند تعبیر آورده شده...
...این ساده ترین تعبیر ریاضی از این مطلب با این الگوریتم یه بچه 3 دبیرستانی هم میتونه مسئله رو حل کنه قرار نیست برای هر مطلبی آدم کلی فرمول عجیب غریب بنویسه اتفاقا هر چی الگوریتم سادهتر باشه احتمال خطا توش کمتره(خطاب به همیلتون)...

مسیر نتیجه گیری شما خوبه ولی چیزی که باهاش می خوایید به نتیجه برسید مطلقا مناسب نیست.از مشتق دوم به طور مستقیم در ایجاد شرط استفاده نمیشه در واقع اون فقط تقعر رو نشون می ده در حالی که ما به چیزی بیشتر از تقعر نیاز داریم.

در ضمن مقصود این سوال بدست آوردن الگوریتم نیست.ما اینجا فقط می خواییم شرط رو بدست بیاریم.در واقع اصلا محاسبات زیادی هم لازم نیست.جواب این سوال فقط توی یک خط بدست میاد!

 

[شذس]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

چون فرمول نمیتونم بنوسم ننوشتم ولی شرطام کاملن با فرض وجود اولین نقطه که دایره و تابع مماس مشترک داشته باشن و داشتن معادله دایره نسبت به اون نقطه yزگوند دایره معلوم میشه اگر مثبت تر بود امکان نداره که دایره نتونه روش راه بره ممکنه روی اون طرفش نتونه (یعنی باید دوباره برسی شه )ولی جواب میده .حالتی مثال بزن که با داشتن این فرض نشه یا بدون داشتن این فرض بشه با این شرط برای y=ax^2همون شرط خودت در میاد

 

[ErfanDK]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

خوب شرط شما کافی نیست.مثلا به این عکسی که گذاشتم نگاه کنید.همه ی این ها در یک نقطه مماس بر منحنی سهمی هستن ولی فقط بعضی هاشون منحنی رو قطع نمی کنن

​

 

[شذس]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

حرف اولیمو پس گرفتم اون شرط که توضیح دادم رو درست نگاه کن .الان نوشتمش ولی نمیدونم چجوری بنویسم با اون سایت که گذاشتین سختمه کار کنم

 

[شذس]

پاسخ : سوال: حرکت روی سطوح مشخص

حتی تو همبنم نگاه کن مماس مشترک هست ولی شرط بزرگتر بودن تغیرات مشتق تو اونا که قطع کردن نیست