سوال های کلاسیک :حرکت

[شذس]

متحرکی روی منحنی [tex]y=f(x)[/tex]در حال حرکته
الف با فرض سرعت ثابت تصویر روی محور xسرعت لحظه ای
ب با فرض ثابت بودن سرعت متحرک سرعت روی محور x
ج با فرض ثابت بودن سرعت تصویر روی یک منحنی دلخواه دیگه

 

[شذس]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

الگوریتم یادتون نره!!

 

[ErfanDK]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

لطفا یکم واضح تر توضیح بدین خواسته ی سوال رو.

 

[شذس]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

منظورم پیدا کردن رابطه بین سرعت خود متحرک وسرعت تصویرشه.یه بار تصویر روی محور xیه بار روی محور یک منحنی دلخواه

 

[ErfanDK]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

اول لازمه چیزی رو که فهمیدم از روی سوال رو بگم و بعد راه حلش رو.
1) متحرک روی منحنی [tex]y=f(x)[/tex] با سرعت ثابت حرکت می کنه.یعنی [tex]\dot{s}[/tex] متحرک مقدار ثابتی داره.در اون صورت تصویر سرعت متحرک روی محور ط خواد بود:

[tex]v_x=\dot{s} \cos{\alpha}=\dot{s} \frac{dx}{ds}=\frac{\dot{s}}{\sqrt{1+\left ( \frac{df}{dx} \right )^2}}[/tex]​

2) باز هم مثل قسمت قبل ولی برای این قسمت دو منحنی [tex]y_1=f_1 (x)[/tex] و [tex]y_2=f_2(x)[/tex] رو در نظر می گیریم.حالا متحرک داره با سرعت ثابت [tex]\dot{s}_1=v_1[/tex] حرکت می کنه. برای اینکه [tex]\dot{s}_2=v_2[/tex] رو برای منحنی دوم بدست بیاریم، از [tex]\dot{x}_1[/tex] استفاده می کنیم.

[tex]\dot{x}_2=\dot{x}_1=\frac{v_1}{\sqrt{1+\left ( \frac{df}{dx} \right )^2}}[/tex]​

[tex]\dot{y}_2=\frac{df_2}{dx}\dot{x}_2 \; \Longrightarrow \; \dot{y}_2=\frac{\frac{df_2}{dx} v_1}{\sqrt{1+\left ( \frac{df}{dx} \right )^2}[/tex]​

[tex]v_2=\dot{s}_2=\sqrt{\dot{x}_2 ^2+\dot{y}_2 ^2}=v_1 \sqrt{\frac{1+\left ( \frac{df_2}{dx} \right )^2}{1+\left ( \frac{df_1}{dx} \right )^2}}[/tex]​

 

[شذس]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

احسنت ولی کاش بر اساس sینوشتی که راحتتر باشه

 

[شذس]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

به طور خلاصه

[tex]\dot{s}=k\Rightarrow \dot{x}=\frac{k}{{s}'}[/tex]
واگر

[tex]\dot{x}=k\Rightarrow \dot{s}={s}'k[/tex]

که [tex]{}'[/tex]و[tex]^{\circ}[/tex]به ترتیب مشتقات نسبت xوtهستند

و به طور کلی نسبت به هر دو تابع دلخواه

[tex]\dot{s}_{1}=k\Rightarrow \dot{s}_{2}=\frac{{s}'_{2}k}{{s}'_{1}}[/tex]

 

[شذس]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

خوب یه سوال دیگه صفحه مفروض که بردار g (جادبه) راشامل و طبیعتا بر سطح زمین عمود است
مطلوب است معادله ی حرکت متحرکی که در حال دوران حول نقطه ای مفروض داخل صفحه
سرعت و زاویه در لحظه ی اول معلوم است
(عمدا شرایط رو باز گذاشتم قبل از حل شرایط اولیه رو توضیح میدیم)

 

[ErfanDK]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

و به طور کلی نسبت به هر دو تابع دلخواه

[tex]\dot{s}_{1}=k\Rightarrow \dot{s}_{2}=\frac{{s}'_{2}k}{{s}'_{1}}[/tex]

درست این عبارت جمع و جور تره

 

[ErfanDK]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

و سوال دوم.به نظر من باید قیدی برای سوال ذکر بشه.برای همین من خودم قید خطی رو برای حل سوال در نظر گرفتم.یعنی فنری به ضریب سختی [tex]k[/tex] جرم رو نسبت به مبدا [tex]\mathcal{O}[/tex] مقید می کنه.چون انرژی پایسته است از لاگرانژی استفاده کردم.

برای این حالت انرژی های پتانسیل و جنبشی رو می نویسیم:

[tex]T=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)[/tex]​

[tex]U=\frac{1}{2}k(r-r_0)^2+mgr\sin \theta[/tex]​

و داریم:

[tex]\mathcal{L}=T-U[/tex]​

برای بدست آوردن معادلات حرکت لازمه که این معادلات رو به تعداد مختصات تعمیم یافته ی مسئله بنویسیم.این مسئله برای توصیف حرکت به دو مختصه ی تعمیم یافته ی [tex]r[/tex] و [tex]\theta[/tex] نیاز داریم.اگر [tex]q[/tex] نشان دهنده ی مختصه ی تعمیم یافته باشه معادله ی حرکت به اسن صورت بدست میاد:

[tex]\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}}=0[/tex]​

پس برای دو مختصه معادلات زیر را داریم که حرکت رو توصیف می کنن:

[tex]\theta \; : \; \; g\cos\theta +2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0[/tex]​

[tex]r \; : \; \; \ddot{r}-r \dot{\theta}^2 + \frac{k}{m} (r-r_0)+g \sin \theta =0[/tex]​

همون طور که می بینید این معادلات جفتیده و از مرتبه ی دو هستن.پس نمیشه با روش های تحلیلی جوابی براشون بدست آورد.تنها راه حلش (فعلا) استفاده از روش های عددیه.برای اینکه بشه بوسیله ی روش های عددی لازمه که همه ی ثوابت مقدار عددی داشته باشن و همچنین شرایط اولیه ی مسئله معلوم باشه.برای معین کردن ثوابت، لازم است مقداری برای [tex]r_0[/tex]( طول عادی فنر)، [tex]k[/tex](ثابت فنر)، [tex]g[/tex] و [tex]m[/tex] اختیار کرد.همچنین برای شرایط اولیه هم مقادیر زیر لازم هستن:

[tex]r(0), \; \; \theta(0), \; \; \dot{r}(0), \; \; \dot{\theta}(0)[/tex]​

چون دو متغیر داریم و هر دو از مرتبه ی دوم هستن.
برای حل عددی میشه از الگوریتم هایی مثل رانگه-کوتا یا اویلر-ریچاردسون استفاده کرد.

با عرض پوزش نمودار های قبلی اشتباه بودن، اشتباه توی تبدیل از [tex](r,\theta)[/tex] به [tex](x,y)[/tex] برای رسم نمودار بود.نمودارهای تصحیح شده رو پایین گذاشتم:​

​

[tex]x_0=0.5, \; y_0=0, \; \dot{x}_0=0, \; \dot{y}_0=2[/tex]​

​

[tex]x_0=0.001, \; y_0=1, \; \dot{x}_0=0, \; \dot{y}_0=0[/tex]​

هر دو نمودار حرکت تا 10 ثانیه بعد از حرکت هستن.

این ها هم نمودار لیساژو برای شرایط اولیه و ضریب فنر و جرم متفاوت هستن که بعد از 100 ثانیه حرکت بدست اومدن، میشه تقریبا شرایط اولیه شون رو فهمید.

 

[شذس]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

چه شرایط اولیه مشکلی گذاشتی من بیشتر نظرم رو نخ و وزنه(که سرعت اونقدر زیاد باشه که مسیر حرکت دایره ای باشه یا شایدم قسمتی ازدایره بسته به شرایط) بود اما در این مورد خاصت باید فکر کنم ایناییکه نوشتی رو راحت نمیفهمم باید از روشهای (بدون اثبات به قول تو )حل کنم ببینم چی میبشه .ببینم می تونم جمعش کنم یا نه
در ضمن منظورم از شرایط اولیه سرعت اولیه و زاویه اولیه بود که برای فنری که تو فرض کردی طول اولیه و kهم اضافه میشه

راستی شکلات رو تو چی می کشی؟

امیر : دو پست شما یکی شد​

 

[شذس]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

من یه معادله دیفرانسیل در اوردم که البته در نیوردنش سنگینتر بود

[tex]r_{t}''-r_{t}\theta '^2=-\frac{k}{m}\left (r_{t}-r_{0} \right )-gsin\theta [/tex]

[tex]\theta '=\frac{-\int gcos\theta +V_{0} }{r_{t}}[/tex]

 

[شذس]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

اه چه جالب معادلت با مال من یکیه ولی به نظرم از دو روش متفاوت.فقط تو یه ضریب 2 از من بیشتر داری توی معادله ی تتا ببین درست نوشتی؟

 

[شذس]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

امروز یکی یه سوال جالب برام طرح کرد .
یک صفحه دایره کاملا سلب روی سطح زمینه و یک گوی که با یک طناب مقید به مرکز دایره داره روش میچرخه فشار زیر هر نقطه از سطح این دایره چقدر؟

 

[ErfanDK]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

اه چه جالب معادلت با مال من یکیه ولی به نظرم از دو روش متفاوت.فقط تو یه ضریب 2 از من بیشتر داری توی معادله ی تتا ببین درست نوشتی؟

نه چکش کردم درسته.

 

[شذس]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

ولی مال منم عیبی نداره پس چرا از معادله من که مشتق میگیری تو اون 2 یکی نمیشن؟

 

[ErfanDK]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

نمی دونم بازم چکشون می کنم

 

[ErfanDK]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

من چکشون کردم اصلا اشکالی ندارن.در ضمن ضریب وقتی که یک طرف معادله صفر باشه فرقی ایجاد نمی کنه.

 

[ErfanDK]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

خوب این سری من یک سوال می گذارم.البته بیشتر به سینماتیک ربط داره ولی چون توی این تاپیک سوالا جمعا همین جا می گذارم.

دو استوانه تو خالی (ورقه ی استوانه ای) داریم هم جرم.شعاع استوانه ی اول [tex]r[/tex] و شعاع استوانه ی دوم [tex]\frac{a}{2}[/tex] می باشد. استوانه ی با شعاع کوچکتر درون استوانه ی بزرگتر قرار دارد بطوری که فقط در یک نقطه با سطح داخلی این استوانه تماس داشته باشد. معادلات حرکت این دو استوانه را پیدا کنید.لازم به ذکر است که استوانه ی کوچک درون استوانه ی بزرگ بدون لغزش می غلتد.
همچنین نقاط تعادل رو پیدا کنید(برای کلی ترین حالت،حتی حالتی که در حال حرکت باشن). فرکانس نوسانات کوچک حول نقطه ی تعادل را نیز بیابید.
در طول حرکت می توان فرض کرد حرکت بدون شتاب است(مگر در مواقعی که این فرض غلط باشد)

 

[شذس]

پاسخ : سوال های کلاسیک :حرکت

من چکشون کردم اصلا اشکالی ندارن.در ضمن ضریب وقتی که یک طرف معادله صفر باشه فرقی ایجاد نمی کنه.

مگر اینکه فقط تو یکی از جملات باشه