پاسخ : توپولوژی
الان یه سری زدم به ویکی پدیا و جمله ای که بهترین تعریف بود این هست: توپولوژی نوعی هندسه است که در آن خواص مهم یک شکل، آنهایی درنظر گرفته می‌شوند که تحت حرکت‌های پیوسته (همئومورفیسم‌ها) حفظ گردند. در این دیدگاه، توپولوژی به‌صورت هندسهٔ صفحاتی لاستیک‌گونه تعریف میشود.
برخی با عبارتی طنزآمیز توپولوژیست‌ها را تعریف می‌کنند؛ آنها می‌گویند توپولوژیست کسی است که فرقی میان فنجان قهوه و دونات نمی‌بیند!
این هم فکر کنم بتونه ذهنیت خوبی نسبت به توپولوژی بده:
تغییرشکل پیوسته (هموتوپی) یک فنجان قهوه به یک چنبره و برعکس.
حدود سال 1900، پوانکاره معیاری از توپولوژی را تحت عنوان هوموتوپی (Homotopy) طراحی کرد. به طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می‌شوند که یکی از آنها بتواند به طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد. یعنی همین شکل بالا که یه دونات با یه فنجان قهوه هوموتوپیک هستند.
این مطالب رو کاملش رو
اینجا بخونید.
یه کتابی هم پیدا کردم که می گه فهرست هاش در رابطه با توپولوژی عمومی اینا هست: مجموعه‌ها - توابع - مجموعه‌هاي شمارش پذير - فضاهاي توپولوژيكي - پيوستگي - فضاهاي جديد - فشردگي - هم‌بندي - اصول جدا سازي - اصول شمارش پذيري - فضاهاي متريك
این هم یه مثال خیلی جالب: حتما تاکنون رویه ها و صفحه های زیادی را دیده اید ، مثل صفحه معمولی ، کره ، مخروط ، استوانه ویا رویه های پر پیچ وتاب تر . ای رویه ها شباهت ها و تفاوت هایی با هم دارند . بیشتر هدف ما هم شناختن این شباهت ها و تفاوت ها ست . مثلا یک صفحه ( مثل ورق کاغذ ) دارای پشت و رو هست ، همچنین کره ، استوانه و بقیه ی رویه هایی که از آنها نام بردیم دارای این خاصیت هستند . رویه ای که می خواهیم به شما معرفی کنیم دارای این خاصیت نیست .
یک نوار کاغذی بردارید ویک دور آن را تاب دهید و سپس دو لبه ی آن را به هم بچسبانید . اکنون شما صاحب یک
نوار موبیوس هستید ! این رویه ساده و به ظاهر به درد نخور دارای یک خاصیت جالب توپولوژیک است . در واقع
نوار موبیوس یک رو بیشتر ندارد . برای امتحان می توانید نوار موبیوس را رنگ کنید . می بینید که بدون برداشتن قلم همه جای آن را می توان با یک رنگ ، رنگ آمیزی کرد بر خلاف صفحه معمولی . به این گونه رویه ها را «رویه های جهت ناپذیر» می نامند
تو داشنامه ی رشد درباره ی نوار موبیوس اینا رو گفته:
نوار موبیوس در حین سادگی از نظر ساخت به صورت عملی خواص حیرت آوری دارد ، این نوار مستقلا و به طور جداگانه توسط دو ریاضیدان آلمانی به نامهای August Ferdinand Möbius و Johann Benedict در سال 1858 کشف و به ثبت رسید
خواص نوار موبیوس:
نوار موبیوس مثالی از یک سطح جهت ناپذیر در ریاضیات است ،یعنی نوار موبیوس سطحی است که یک رو دارد. از خواص حیرت آور این نوار آنست که این نوار فقط یک مرز دارد
در ابتدا مرز یک ناحیه در فضا را تعریف می کنیم :
مرز یک ناحیه همان طور که از تعریفش پیداست خط جدا کننده آن ناحیه از ناحیه دیگر می باشد در ریاضیات برای یک سطح سه مفهوم تعریف میشود
1-نقطه داخلی : نقطه ای که بتوان آن را داخل یک دایره روی سطح محصور کرد .
2- نقطه خارجی:نقطه ای است که بتوانیم دایره حول آن رسم کنیم که متعلق به آن سطح نباشد
3-نقطه مرزی نقطه است که هر دایره ای حول آن رسم شود قسمتی از آن متعلق به سطح و قسمت دیگر آن متعلق به خارج آن سطح باشد.
با این تعریف نوار موبیوس فقط یک مرز دارد.یعنی با یکبار حرکت در کرانه های انتهای نوار تمام مرز آن را میتوانیم طی کنیم.
برای آزمایش میتوانید این کار را با یک دایره ای که از وسط سوراخ شده است تکرار کنید،در این حالت برای پیمودن مرزهای این سطح باید از روی دو دایره عبور کنیم.
نوار موبیوس خواص غیر منتظره دیگری نیز دارد ،به عنوان مثال هر گاه بخواهیم این نوار را در امتدادد طولش ببریم به جای اینکه دو نوار بدست نیاوریم یک نوار بندتر و با دو چرخش بدست میاوریم.
همچنیین با تکرار دوباره این کار دو نوار موبیوس در هم پیچ خورده بدست می آید.با ادامه این کار یعنی بریدن پیاپی نوار و در انتهای کار تصاویر غیر منتظره ای ای ایجاد میشود که به حلقه های پارادرومویک(paradromic rings) موسومند.
همچنین اگر این نوار را از یک سوم عرض نوار ببریم در این حالت دو نوار موبیوس در هم گره شده با طولهای متفاوت بدست می آوریم
تمامی آین کارها بطور شهودی قابل اجرا هستند
نوار موبیوس حالت خاصی از یک شکل کلی‌تر هست به‌نام
بطری کلاین (Klein Bottle). بطری کلاین هم خصوصیت جالبی داره. خاصیت بطری کلاین این هست که
سطح درونی و بیرونی نداره و هر دو سطح در واقع یکی هستند.
منابع:
1
2
3
4
اگه کسی می تونه، درباره ی خود توپولوژی توضیح بده لطفا و بیشتر از اون کاربردهاش! تا اونجایی که گشتم، درباره ی کاربردهاش و اینکه دقیقا چه جاهایی استفاده می شه اطلاعات جامع و خوبی پیدا نکردم.
