توپولوژی

[neda.m]

توپولوژی چی هست؟
تا اونجایی که می دونم و خوندم، توپولوزی (مکان شناسی)، مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی هستش که در طی تغییر شکلها ، ضربه خوردن ها و کشیده شدن اشیاء ، به طور ثابت حفظ میشن (البته عمل پاره کردن مجاز نیست). مثلا یک دایره به لحاظ توپولوژیکی، با بیضی هم ارز هستش که می تونه در داخل آن با کشیده شدن تغییر شکل پیدا کنه و یک کره به سطح بیضی وار هم ارز است( یعنی یک منحنی بسته تک بعدی و بدون هیچ محل تقاطع که می تونه در فضای دو بعدی جا بگیره)

البته توپولوژی فقط همین نیستش. توپولوژی با منحنی ها ، سطوح و سایر اشیاء تو صفحه و فضای سه بعدی مطرح شده.

حالا می خواستم که اگه کسی می تونه درباره ی توپولوژی توضیح بده به طور نه خیلی مفصل(!) و بعد درباره ی فایده هاش و این که به چه دردی می خوره و کاربردهاش بحث کنیم!

پ.ن: از همه خواهشمندم که مطلبی رو کپی پیست نکنین و مستقیم بذارین اینجا! اول خودتون یه دور بخونید و بعد به صورت خلاصه اینجا (ترجیحا با زبان خودتون) بنویسید.چون همه حوصله شون نمیاد کامل بخونن اون وقت!
ممنون

 

[neda.m]

پاسخ : توپولوژی

الان یه سری زدم به ویکی پدیا و جمله ای که بهترین تعریف بود این هست: توپولوژی نوعی هندسه است که در آن خواص مهم یک شکل، آنهایی درنظر گرفته می‌شوند که تحت حرکت‌های پیوسته (همئومورفیسم‌ها) حفظ گردند. در این دیدگاه، توپولوژی به‌صورت هندسهٔ صفحاتی لاستیک‌گونه تعریف می‌شود.
برخی با عبارتی طنزآمیز توپولوژیست‌ها را تعریف می‌کنند؛ آنها می‌گویند توپولوژیست کسی است که فرقی میان فنجان قهوه و دونات نمی‌بیند!

این هم فکر کنم بتونه ذهنیت خوبی نسبت به توپولوژی بده:

تغییرشکل پیوسته (هموتوپی) یک فنجان قهوه به یک چنبره و برعکس.​

حدود سال 1900، پوانکاره معیاری از توپولوژی را تحت عنوان هوموتوپی (Homotopy) طراحی کرد. به طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می‌شوند که یکی از آنها بتواند به طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد. یعنی همین شکل بالا که یه دونات با یه فنجان قهوه هوموتوپیک هستند.

این مطالب رو کاملش رو اینجا بخونید.

یه کتابی هم پیدا کردم که می گه فهرست هاش در رابطه با توپولوژی عمومی اینا هست: مجموعه‌ها - توابع - مجموعه‌هاي شمارش پذير - فضاهاي توپولوژيكي - پيوستگي - فضاهاي جديد - فشردگي - هم‌بندي - اصول جدا سازي - اصول شمارش پذيري - فضاهاي متريك

این هم یه مثال خیلی جالب: حتما تاکنون رویه ها و صفحه های زیادی را دیده اید ، مثل صفحه معمولی ، کره ، مخروط ، استوانه ویا رویه های پر پیچ وتاب تر . ای رویه ها شباهت ها و تفاوت هایی با هم دارند . بیشتر هدف ما هم شناختن این شباهت ها و تفاوت ها ست . مثلا یک صفحه ( مثل ورق کاغذ ) دارای پشت و رو هست ، همچنین کره ، استوانه و بقیه ی رویه هایی که از آنها نام بردیم دارای این خاصیت هستند . رویه ای که می خواهیم به شما معرفی کنیم دارای این خاصیت نیست .
یک نوار کاغذی بردارید ویک دور آن را تاب دهید و سپس دو لبه ی آن را به هم بچسبانید . اکنون شما صاحب یک نوار موبیوس هستید ! این رویه ساده و به ظاهر به درد نخور دارای یک خاصیت جالب توپولوژیک است . در واقع نوار موبیوس یک رو بیشتر ندارد . برای امتحان می توانید نوار موبیوس را رنگ کنید . می بینید که بدون برداشتن قلم همه جای آن را می توان با یک رنگ ، رنگ آمیزی کرد بر خلاف صفحه معمولی . به این گونه رویه ها را «رویه های جهت ناپذیر» می نامند

تو داشنامه ی رشد درباره ی نوار موبیوس اینا رو گفته:

نوار موبیوس در حین سادگی از نظر ساخت به صورت عملی خواص حیرت آوری دارد ، این نوار مستقلا و به طور جداگانه توسط دو ریاضیدان آلمانی به نامهای August Ferdinand Möbius و Johann Benedict در سال 1858 کشف و به ثبت رسید

خواص نوار موبیوس:

نوار موبیوس مثالی از یک سطح جهت ناپذیر در ریاضیات است ،یعنی نوار موبیوس سطحی است که یک رو دارد. از خواص حیرت آور این نوار آنست که این نوار فقط یک مرز دارد
در ابتدا مرز یک ناحیه در فضا را تعریف می کنیم :

مرز یک ناحیه همان طور که از تعریفش پیداست خط جدا کننده آن ناحیه از ناحیه دیگر می باشد در ریاضیات برای یک سطح سه مفهوم تعریف میشود

1-نقطه داخلی : نقطه ای که بتوان آن را داخل یک دایره روی سطح محصور کرد .
2- نقطه خارجی:نقطه ای است که بتوانیم دایره حول آن رسم کنیم که متعلق به آن سطح نباشد

3-نقطه مرزی نقطه است که هر دایره ای حول آن رسم شود قسمتی از آن متعلق به سطح و قسمت دیگر آن متعلق به خارج آن سطح باشد.

با این تعریف نوار موبیوس فقط یک مرز دارد.یعنی با یکبار حرکت در کرانه های انتهای نوار تمام مرز آن را میتوانیم طی کنیم.

برای آزمایش میتوانید این کار را با یک دایره ای که از وسط سوراخ شده است تکرار کنید،در این حالت برای پیمودن مرزهای این سطح باید از روی دو دایره عبور کنیم.
نوار موبیوس خواص غیر منتظره دیگری نیز دارد ،به عنوان مثال هر گاه بخواهیم این نوار را در امتدادد طولش ببریم به جای اینکه دو نوار بدست نیاوریم یک نوار بندتر و با دو چرخش بدست میاوریم.
همچنیین با تکرار دوباره این کار دو نوار موبیوس در هم پیچ خورده بدست می آید.با ادامه این کار یعنی بریدن پیاپی نوار و در انتهای کار تصاویر غیر منتظره ای ای ایجاد میشود که به حلقه های پارادرومویک(paradromic rings) موسومند.
همچنین اگر این نوار را از یک سوم عرض نوار ببریم در این حالت دو نوار موبیوس در هم گره شده با طولهای متفاوت بدست می آوریم

تمامی آین کارها بطور شهودی قابل اجرا هستند



نوار مو‌بیوس حالت خاصی از یک شکل کلی‌تر هست به‌نام بطری کلاین (Klein Bottle). بطری کلاین هم خصوصیت جالبی داره. خاصیت بطری کلاین این هست که سطح درونی و بیرونی نداره و هر دو سطح در واقع یکی هستند.

منابع:
1
2
3
4

اگه کسی می تونه، درباره ی خود توپولوژی توضیح بده لطفا و بیشتر از اون کاربردهاش! تا اونجایی که گشتم، درباره ی کاربردهاش و اینکه دقیقا چه جاهایی استفاده می شه اطلاعات جامع و خوبی پیدا نکردم.

 

[neda.m]

پاسخ : توپولوژی

بچه ها، منتظرما! هیچکی درباره ی کاربردهای توپولوژی نمی دونه؟!

 

[atefeh]

پاسخ : توپولوژی

من عشق تو پولوژیم
سوالی داشتین درخدمتم

توپو به معنی مکان و لوژی به معنای شناسیه یعنی مکان شناسی

از کاربردای تو پولوزیم می شه به بازی هایی که یه سریشون توسط کانو پرورش فکری تولید شدن اشاره کرد
مثلا به شما می گن یه نخو از داخل حلقه بیارید بیرون و هرچی تلاش کنید نمی شه
چون توپولوزی بلد نیستید
درواقع توپولوزی یه جور علمیه که رویه هارو مطالعه می کنید
من امسال یه پلات برا نمایشگاه مدرسمون درست کردم اگه بخواید می ذارمش

 

[neda.m]

پاسخ : توپولوژی

بذاری ممنون می شم
درباره ی اون بازیا می تونی یه کم بیشتر توضیح بدی؟ اگه توپولوژی بلد باشیم می تونیم؟ اصلا چه جوری هست که باید توپولوژی بلد باشیم و باید چه چیزایی بلد باشیم دقیقا؟! (الان علامت سوال شدم!)
دیگه می دونی چه کاربردهایی داره؟

 

[atefeh]

پاسخ : توپولوژی

من خودم دقیقا کاربرداشو نمی دونم ولی لابد کاربرد داره می خواید براتون یه سرچی می کنم

می تونید به شماره های ابتداییه مجله ریاضیات مراجعه کنید من از اونجا یاد گرفتم توی اونا حتی بازیارم آموزش داده
فعلا فایل پوسترمو ندارم ولی اگه پیدا کردم تا هفته اینده ایشالا اگه خدا بخواد زنده باشیم می ذارم

 

[sunshine]

پاسخ : توپولوژی

نوار مو‌بیوس حالت خاصی از یک شکل کلی‌تر هست به‌نام بطری کلاین (Klein Bottle). بطری کلاین هم خصوصیت جالبی داره. خاصیت بطری کلاین این هست که سطح درونی و بیرونی نداره و هر دو سطح در واقع یکی هستند.

یه نكته رو فراموش كردی بگی ! بطری كلاین یه جسمه توی 4 بعد ! با این عكس زیر هم كمی راحت تر میشه تصورش كرد !

فعلا فایل پوسترمو ندارم ولی اگه پیدا کردم تا هفته اینده ایشالا اگه خدا بخواد زنده باشیم می ذارم

آخرین زمان فعالیت : امروز، ساعت 00:16:38 قبل‏ازظهر

فكر می كنم زنده باشید !

 

[neda.m]

پاسخ : توپولوژی

یه نكته رو فراموش كردی بگی ! بطری كلاین یه جسمه توی 4 بعد ! با این عكس زیر هم كمی راحت تر میشه تصورش كرد !

ها؟ نفهمیدم!
بعد چهارمش چیه؟
عکس خوبیه ولی


عاطفه، پاشو بیا بذار دیگه اون پوسترو! وگرنه خودم می کشمت!

 

[ذهن موهومي]

توپولوژي پايه (قسمت اول)

مبحث توپولوژی را در اینترنت پیدا نکردم تا برای کاربران عزیز بگذارم ناچار شدم خودم تایپ کنم.
در اینجا قصد دارم طی چندین تاپیک به مرور توپولوژی رو به همه کنجکاوان ریاضی معرفی کنم.امیداست مورد پسند کاربران قرار گیرد..به قسمت اول توجه نمائید.
این بخش را باتعریفی از مفهوم تابع آغاز میکنم.
تعریف:دو مجموعهA وBرا که عناصرشان اشیاء دلخواهی هستند در نظر میگیریم و فرض می کنیم به هر عنصر از xاز A عنصری از Bکه به آن (f(x گوییم به نوعی مربوط شده باشد.در اینصورت گوییم fیک نابع از Aبه Bاشت.مجموعه Aرا قلمروfمی نامیم(همچنین می گوییم fبر Aتعریف شده است)و (f(x ها را مقدارهای fمی خوانیم. مجموعه تمام مقادیر fبرد fنام دارد.
تعریف:فرض کنیم AوB دو مجموعه بوده و fیک نگاشت ار Aبتوی B(یعنی fیک تابع از Aبه B)باشد.هرگاه Eزیر مجموعه Aباشد (f(E مجموعه تمام (f(x هایی تعریف می شود که xعضو Eاست.
(f(E را نقش Eتحتfمی نامیم.با این نماد گذاری (f(A برد fخواهد بود .واضح است که (f(A زیر مجموع Bاست.هرگاه (f(A برابر Bشود گوییم f مجموعهAرا بر روی Bمی نگارد.(توجه کنید که بر طبق این قرار نگاشت "برو" خاص تر از نگاشت"بتو" است.)
فعلا تا اینجا رو داشته باشیدتا بعد... .

 

[esmailipour]

پاسخ : توپولوژی

سلام بچه ها !

يه بادكنك رو در نظر بگيريد!
شروع كنيد به باد كردن بادكنك....تا جاييكه بادكنك منفجر نشه و نتركه!!
به نظرتون اين موضوع مي تونه با توپولوژي مربوط باشه؟

كمي توضيح مي دم... فرض كنيد 2 تا نقطه رو، روي سطح بادكنك مشخص كرديم ، زماني كه بادكنك هنوز باد نشده از اين دو نقطه يه خط مي گذره...حالا فرض كنيد بادكنك رو داريم باد مي كنيم...اين دو نقطه توسط اين خط هنوز به هم مرتبط هستند...در واقع، دو نقطه روي يك خط...به عبارتي روي يه منحني قرار دارن!...پس مي شه مثلا" فاصله ي اين دو نقطه رو اندازه گرفت...اگرچه در مراحل مختلف فاصله ي نقاط از هم يكسان نيست...اما هنوز پيوستگي نقاط وجود داره و هنوز من و شما يه خط مي بينيم!

اگه اين بادكنك بتركه!
در واقع ديگه اين دو نقطه خاصيت اول رو نخواهند داشت...يعني روي اين سطح خطي ازشون نمي گذره!
تا اينجا با يه مثال ساده ...معني حفظ يه خاصيت و يا از دست دادن يه خاصيت رو خوب درك كرديم!

در رياضيات بعد از تعريف هم ارزي، خوش ترتيبي، توزيع پذيري و... {و احتمالا" مفاهيمي مثل گروه، هم ريختي و يكريختي(كه مربوط به جبر مي شه! )} به تعريف "خواص توپولوژيك" و بعد "فضاهاي توپولوژيك" مي رسن...
در اين صورت يك فضاي توپولوژيكي ، متشكل از يك مجموعه و مجموعه اي از زير مجموعه هاي اين مجموعه است به طوريكه حافظ يه سري از خواص تعريف شده باشه.
يه توپولوژي رو ميشه روي يه فضاي متري تعريف كرد و با استفاده از خواص فضاي R^n به تعريف خواص توپولوژيكي پرداخت!

اين رشته سر دراز داره...

 

[mavara]

پاسخ : توپولوژی

اقای میرزاوزیری هم یک کتاب در این باره دارن.....ایشون درحد ساده گفتند:
توپولوژی مثل گراف فقط فضاییش...یعنی مثلا شما یک تایر ماشین رو کمی بکشین و یک طرف رو کمی فشار بدین هم شکل لیوانه!!!!!!!!!!!

 

[neda.m]

پاسخ : توپولوژی

دو روز پیش هم یه کتاب از ترجمه ی آقای پرویز شهریاری دیدم. جالب بود کتابش. توضیحات خیلی مفصلی داشت. یه روز حتماً میرم از کتاب خونه ای چیزی می گیرمش، مطالب جالب یا عناوینش رو می ذارم که یه ایده ی خوبی داشته بشیم که خواستیم بیشتر بخونیم، راحت تر باشیم.

MaVaRa، تو هم اگه می تونی مطالبی که به نظرت جالب میاد رو بذاری، خیلی ممنون می شم و عالی میشه :)

 

[mavara]

پاسخ : توپولوژی

من خودم اطلاعی ندارم....ولی دنبالش میگردم!!

 

[mishu]

پاسخ : توپولوژی

منم دوست دئارم اينو....اگر بريم تو عمقش باحال ترم ميشه!

 

[s`dni]

پاسخ : توپولوژی

سلام ! اولا بگم توپولوژی یکی از شاخه های هندسه بوده که بعدا ریاضی دان های کنجکاو رفتند سراغش و اونو مال خودشون کردند
شما ها از نوار موبیوس گفتید ولی از کاربرد های اون رو نگفتید در حالی که تا دلتون بخواهد کاربرد داره

 

[mavara]

پاسخ : توپولوژی

چرا نمیگین شما؟

 

[neda.m]

پاسخ : توپولوژی

سلام ! اولا بگم توپولوژی یکی از شاخه های هندسه بوده که بعدا ریاضی دان های کنجکاو رفتند سراغش و اونو مال خودشون کردند
شما ها از نوار موبیوس گفتید ولی از کاربرد های اون رو نگفتید در حالی که تا دلتون بخواهد کاربرد داره

من راستش اطلاعات زیادی ندارم در موردش، این ها رو هم تو اینترنت پیدا کرده بودم! اگه توضیح بدین در مورد کاربردهاش، ممنون می شم :)

 

[Nimbus]

پاسخ : توپولوژی

سلام ! اولا بگم توپولوژی یکی از شاخه های هندسه بوده که بعدا ریاضی دان های کنجکاو رفتند سراغش و اونو مال خودشون کردند
شما ها از نوار موبیوس گفتید ولی از کاربرد های اون رو نگفتید در حالی که تا دلتون بخواهد کاربرد داره

این تاپیک آخرین بروز رسانیش برای 5 ماه پیش بود. این تاپیک ها رو بالا نیارید.

 

[Nimbus]

پاسخ : توپولوژی

دو تا E-book در این مورد دارم. قبلا" هم داشتم ولی اونا حذف شدن. حالا شاید جدید ها رو گذاشتم. این تاپیک که دیگه بالا اومد لااقل بحث ادامه پیدا کنه. یکی از این کتاب ها رو آلن هچر نوشته و دیگری (که اسکن شده است) رو جیمز مانکرز پرفسور MIT در ریاضیات نوشته.

مقدمه توپولوژی (تو هر کتابی که من دیدم) نظریه مجموعه هاست. اصلا پایش همونه. و البته توش رابطه ی خاصی نداریم . یعنی فرمولی نیست. انتشارات فاطمی که کتابی به اسم توپولوژِی شهودی داره.

 

[Nimbus]

پاسخ : توپولوژی

کتاب Allen Hatcher :

http://bluedownload.persiangig.com/topo.rar