مقالات آموزشی

[erfan_ashorian]

سلام به همه خیلی وقت بود میخواستم این پستو بزارم حسش نمیشود دیدم جمعستو حس درس خوندن نیست گفتم یه کار مفید بکنم!
خب به ترتیب شروع میکنیم به توضیح:

در شکل بالا ایزوگونال!خط Lنسبت به زاویه ی CABخط Lپریم میباشد زیرا این دو خط نسبت به نیمساز زاویه ی CABقرینه اند
خب حالا که تعریف رو فهمیدید چند تا تمرین اسون!
1)فرض کنید دو تا خط UوVهمدیگر را در P قطع کرده باشند فرض کنید تصویر نقطه ی دلخواه Tروی دو خط U,Vبه ترتیب X,Yباشد ثابت کنید ایزوگونال خط PTنسبت به دو خط U,Vبر خط XYعمود است !

حالا فرض کنید که یک که یک نقطه در مثلث ABC داریم به اسم X حالا قضیه ی زیر را داریم:
قضیه 1:اگر ایزوگونال خطوط XAوXBوXCرا نسبت به زوایای CABوABCوACBرسم کنیم خطوط حاصل همدیگر را در نقطه ای مثل X_1قطع میکنند.

اثباتراهنمایی)از قضیه ی سینوسی سوا استفاده کنید.
به نقطه ی X-1isogonal conjugate
نقطه ی Xنسبت به مثلث ABCمیگویند.
تمرین:
1)ثابت کنید isogonal conjugate مرکز دایره محیطی مرکز ارتفاعی مثلث است.
2)ثابت کنید isogonal conjugate مرکز دایره محاطی خودش میباشد.
تعریف :Symmedian Point
isogonal conjugateمرکز ثقل مثلث را Symmedian Pointمینامیم که ان را با حرف kنشان میدهند!

تعریف:مثلث پدال
فرض کنید نقطه ای دلخواه در صفحه داشته باشیم رئوس مثلث پدال این نقطه نسبت به مثلث ABCعبارت اند از عمود های وارد از این نقطه بر اضلاع مثلث.

قضیه مهم و جالب:ثابت کنید مرکز ثقل هر مثلث پدالی در صفحه symmedian point یا همان kمیباشد!
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=441141
این مقاله ادامه دارد.............
منابع:
artofproblemsolving.com
http://www.cut-the-knot.org/geometry.shtml
http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/

 

[erfan_ashorian]

پاسخ : isogonal

و بالاخره ادامه مقاله...!
فرض کنید pو q نسبت به مثلث ABC ایزوگونال باشند فرض کنید عمود های وارد از نقطه pبر اضلاع مثلث به ترتیب x,y,zباشند و عمود های وارد از q به ترتیب u,v,w باشند بر اضلاع bc,ca,ab ما دو قضیه زیر را داریم:
1)PX.QU=PY.QV=PZ.QW
2)تمام نقاط x,y,z,w,v,u رویه یک دایره قرار دارند.

اثبات:
1)(راهنمایی)دقت کنید دو مثلث AYP و َAWQمتشابه اند.
2)p را نسبت به اضلاع مثلث قرینه کنید و دقت کنید که q مرکز دایره محیطی مثلث حاصله است.

دو تا درخواست
1)سعی کنید خودتون این قضایایی رو که میگم اثبات کنید نتونستین بگید تا اثباتشو بگم.
2)اگه کم بود این دفعه یا دیر دادم ببخشید سرم شلوغه!ان شا الله!اگه همین طوری بزارم تموم میشه زود!فعلا!

 

[ahp]

پاسخ : isogonal

خوب بود عرفان، آفرين!

فقط دو تا نكته!

1) منابع رو بنويس حتماً، وگرنه مقاله ات بي ارزش ميشه. يه سري از عكسها مال مقاله ي داريج گرينبرگ هست و فكر كنم منبع اصلي هم همون باشه.
2) چرا لغاتش رو كامل ترجمه نكردي آخه! Isogonal Conjugate ميشه "مزدوج هم زاويه". يه سري از لغات رو من هم نميدونم ترجمه دقيقش چيه، ولي تو يه دونه لغتنامه رياضي بگردي حتماً پيدا ميكني!

مرسي. :)

 

[erfan_ashorian]

خب دوباره اسمش دهن پر کنه هوچی نیست!
خب اول قضیه شکل زیر را ببینید»

خب دیگه شکل خودش بیان کننده ی همه چی هست!(به اون برابری 1.91دقت کنید در دو طرف جدول!)
تمرین اول»قضیه را اثبات کنید بدیهیه تقریبا!
سوال اول»قضیه ژرگون را با استفاده از ون اثبات کنید!
اثبات»چهار تا نسبت تناسب این حرفارو نداره که
سوال دوم»
در مثلث ABCدو نقطه ی E,Fرا به ترتیب رویه AC,ABانتخاب میکنیم دایره محیطی مثلث های ABEوAFCعلاوه بر Aیکدیگر را در yقطع میکنند
همچنین خط AYدایره محیطیه مثلث AEFرو در Xقطع میکنه ثابت کنید»
af/fb+ae/ec=ax/xy
اثبات»(تو پست بعدی جوابشو میدم به زودی!!)
ادامه مقاله به زودی(خیلی نشد ببخشید ولی خب دیدم کسی چیزه درست حسابی نمیزاره یه چیز بزارم )

 

[erfan_ashorian]

پاسخ : Van Aubel theorem

خب سوال بعدی و یه راهنمایی برا سوال قبلیه»
سوال سوم»مثلث ABCرا داریم فرض کنید دایره محاطی آن در EوFبه ترتیب به AC وABمماس باشدنیمساز Aهم ضلع مقابلشو در Gقطع میکنه!
حالا فرض کنید BEوCFهمدیگر را در jقطع کنن!از jعمود میکنیم به FEتا BCرا در kقطع کنه ثابت کنید»
GK/DK=AE/CE+AF/BF
اثبات»میدونیم AJضلع BCرا در Dقطع کنه(اگرم نمیدونی چیکارت کنم؟)حالا میدونیم که jkموازیه AGمیباشد زیرا جفتشون به FEعمودن باقیشم که
بدیهیه!
راهنمایی اول سوال دوم»از انعکاس استفاده کنید دایره هارا نسبت به نقطه ی Aمنعکس کنید!

 

[erfan_ashorian]

پاسخ : Van Aubel theorem

یادمه اون روزی که مقاله ی ایزوگونال های داریج گرینبرگ رو خونده بودم جوگیر بودم و میخواستم برای هر نقطه یه چیزی شبیه به مثلث
پدال تعریف کنم!!چیزی که به ذهنم شب تو خواب اومد این بود که به جای این که از هر نقطه عمود کنیم به سه ضلع بیاییم و نیمساز
های اون 3 زاویه ی موجود را بکشیم یعنی این جوری که فرض کنید نقطه pدر مثلث abcرا داریم حالا فرض کنید نیمساز bpcضلع pcرو
در dنیمساز apcضلع acرو در eو نیمساز apbضلع abرو در fقطع کنه حالا دو تا چیز زیر رو اثبات کنید:
الف»ad,be,cfهمرسند
ب»فرض کنید این 3 در qهمرس باشند حالا اگر (qa.qb.qc)/(qd.qe.qf)برابر با 8شود ثابت کنید pمرکز دایره محیطی است.
راهنمایی»
الف»سوا
ب»ثابت کنید این عبارت بزرگتر مساوی 8میباشد!

 

[erfan_ashorian]

پاسخ : isogonal

نوشتم که!!اون زیر اولین پستش نوشتم منابع»

منابع:
artofproblemsolving.com
http://www.cut-the-knot.org/geometry.shtml
http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/

 

[erfan_ashorian]

Trilinear coordinates

بنام خدا. . .
خو دوستان من اول از کار بگم این چیزی که این جا میخوام یاد بدم به هیچ وجه به درTrilinear coordinatesد استفاده تو مرحله دو نمیخوره(البته فکر کنم یعنی یحتمل ممنوعه دیگه نیس؟!)خو پس چه مرضیه من اینو میگم؟به این درد میخوره که تا میخواین یه مساله رو چک کنین درسته یا نه یا مثلا چند تا نقطه رویه خط هستن یا نه یا از این جور کارا به درد میخوره. ..
خو ببینید تعریف واضحه:
ما به هر نقطه تو صفحه سه تا عدد نسبت میدیم که خوب هر کودوم فاصله ی اون نقطه رو از ضلع ها میرسونه خو یه سری نقاط داریم که اینا بدیهیه عدداشون مثلا:
A = 1 : 0 : 0
B = 0 : 1 : 0
C = 0 : 0 : 1
مرکز دایره محاطی= 1 : 1 : 1
خو حالا یه سریام هست برا تفریح خوبه بشینن ثابتش کنین:
مرکز:cos A : cos B : cos C
مرکز ارتفاعی:cos A - sin B sin C : cos B - sin C sin A : cos C - sin A sinB
خو البته این مرکز ارتفاعیه کمی سخته خودم هنو ثابت نکردم
بله و اما کاربرد اینا چیچیس اسی!!کاربرده اینا چندتاس به ترتیب:
1)اثبات همخطیه چند نقطه
به این ترتیب که هر کودوم از نقاط عددش میشه عدده یه سطر بعد میشه یه ماتریس سه در سه دترمینانش اگه صفر شد اینا همخطند
عرضم به حضورتون که خو این قضیه رو هم نمیتونم ثابت کنم اگه کسی تونست بگه. . .
خو حالا چند تا مثال:
مثال 1)
خو ثابت میکنیم مرکز ارتفاعی و مرکز دایره محیطی و مرکز ثقل همخطند
اثبات:
cos A : cos B : cos C l:مرکز دایره محیطی
cos A + cos(B - C) : cos B + cos(C - A) : cos C + cos(A - B):مرکز ثقل
cos A - cos(B - C) : cos B - cos(C - A) : cos C - cos(A - B)مرکز ارتفاعی
خو ماتریس بالا دترمینانش صفره چون جمع سطر دوم و سوم /2 با سطر اول برابره پس این سه نقطه همخطند
مثال دوم)
این باشه برا بعد. . .
و دوباره که حسش شد همخطیو میگم چجوریه. . .
راستی اگه خواستید یه نقطه رو Trilinear ش رو بدست بیارید کافیه تو گوگل بزنید:
X(Y)tTrilinear