نظریه ی گروه ها

[armita]

سلام
می شه لطفا در مورد نظریه ی گروه ها توضیح بدین ؟
فکر کنم برای مرتب کردن مکعب روبیک ازش استفاده می شه !

 

[C_o_D]

پاسخ : نظریه ی گروه ها

سلام

اینم یه تاریخچه از نظریه ی گروهها:
نظریه گروهها به‌وسیله چهارشاخه عمده از ریاضیات جبر کلاسیک، نظریه اعداد، هندسه و آنالیز رشد و گسترش یافت. جبر کلاسیک در سال 1770 با کارهای ژوزف لویی لاگرانژ برروی معادلات چند جمله‌ای پابه گذاری شد.
نظریه اعداد به‌وسیله کارل فردریش گاوس در سال 1801 مورد مطالعه و گسترش هرچه بیشتر قرار گرفت و سی.اف.کلاین در زمینه هندسه و ارتباط تبدیلات هندسی و گروهها کارهای بسیار انجام داده است به طوری که او را پدر این بخش از نظریه گروهها می‌دانند و بنیانگذار شاخه آنالیز نیز هنری پوانکاره،اس.لی لای و سی.اف کلاین هستند.
به هر حال اویلر(Euler)، گاوس(Gauss)،لاگرانژ(Lagrange)، آبل(Abel) و ریاضیدان فرانسوی گالوا(Galois) اولین کسانی بودند که در زمینه نظریه گروهها به تحقیق پرداخته بودند. خصوصاً گالوا بدلیل قضیه اساسی خود که رابطی بین گروهها و حلقه‌ها است و امروزه آن را قضیه گالوا می خوانند بسیار مورد توجه است.
اولین کاربرد گروهها در توصیف تأثیر جایگشتهای ریشه‌های یک معادله چند جمله‌ای بوده است که به‌وسیله لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفته است که بر مبنای همین او توانست نظریه جانشانی را سازمان دهد.
او کشف کرد که ریشه‌های همه مواردی را که او امتحان کرده است توابعی گویا از ریشه‌های معادلات متناظرشان هستند. پس از او رافینی در تلاش برای اثبات عدم وجود راه حل مستقیم برای حل معادلات درجه پنجم و بالاتر گامهای دیگری را در زمینه نظریه گروهها برداشت.
بعد از او گالوا نخستین اثر خود را در مورد نظریه گروهها در سن 18 سالگی(1829)منتشر ساخت. اما کمک های او تا قبل از انتشار مجموعه مقالاتش در سال 1846 مورد توجه قرار نگرفت.
بعد از او آرتور کیلی و آگوستین لویی کوشی به اهمیت کارهای گالوا پی بردند و به تحقیقات بیشتر در این زمینه پرداختند. از جمله ریاضیدانانی که در قرن نوزدهم در زمینه نظریه گروهها کار می‌کردند می‌توان برتراند،چارلز هرمیت، فروبنیوس و لئوپارد کرونکر و امیل ماتیو را نام برد.
تا آن زمان اصول موضوع معینی برای تعریف گروه وجود نداشت. در سال 1854 کیلی اولین اصول موضوع را برای گروهها ارائه داد اما تعریف وی به زودی فاقد ارزش شد. در سال 1870، کرونکر مجدداً اصول موضوعی را برای گروهها پایه گذاشت. همچنین اچ.وبر در سال 1882، تعریفی برای گروهای متناهی و در سال 1883 تعریفی برای گروههای نامتناهی انجام داد.
والتر فون دایک در سال 1882 اولین تعریف مدرن از گروه را ارائه داد. مطالعه گروههای لای و زیرگروههای گسسته شان و گروههای تبدیلی در سال 1884 به طور منظم توسط سوفوس لای شورع شد.
امروزه نظریه گروهها به بنیادی ترین نظریه‌ها در جبر مجرد تبدیل شده است و منبع تحقیقات فراوانی برای ریاضیدانان است.


....
..
.

 

[C_o_D]

پاسخ : نظریه ی گروه ها

سلام

حالا یکم تخصصی تر :
تعریف گروه

ابتدا یادآوری می کنیم که یک ساختمان جبری عبارت است از یک مجموعه به همراه یک یا چند عمل دوتایی و رابطه که روی آن مجموعه تعریف شده است. گروه نیز از جمله ساختمان های جبری است.
ساختمان جبری (G, * ) (مجموعه G به همراه عمل دوتایی *) یک گروه است هرگاه واجد شرایط زیر باشد:
1.عمل * در G شرکت پذیر باشد. یعنی برای هر a,b,c∈G داشته باشیم a*(b*c)=(a*b)*c.
2.G نسبت به عمل * دارای عضو خنثی باشد، یعنی عضوی چون e∈G موجود باشد که برای هر a∈G، داشته باشیم a*e=e*a=a.
3.هر عضو G نسبت به عمل * دارای عضو معکوس باشد، یعنی برای هر a∈G عضوی چون b∈G موجود باشد که a*b=b*a=e.
منشائ این اصول بر حسب تجربه و متأثر از تاریخ مطالعه گروهها است.
در تعریف یک گروه لازم نیست که عمل تعریف شده در گروه G، جابجایی(تعویض پذیر) باشد اما برخی از گروهها دارای این خاصیت هستند. این گروهها از اهمیت ویژه‌ای برخودارند و به افتخار نیلز هنریک آبل گروه‌های آبلی نامیده می‌شوند.
همچنین گروه G دارای تعداد متناهی عضو باشد، G را گروه متناهی می گوییم. به تعداد عناصر یک گروه مرتبه گروه می گوییم.

. ... ... ... قرار داد: همانطور که در مورد هر ساختمان جبری عمل می‌شود برای سهولت در نوشتن، بجای a*b می نویسیم ab.
______
زیرگروه

زیرمجموعه ناتهی H از گروه G را زیرگروه G می گوییم هرگاه H تحت عمل گروه G تشکیل یک گروه بدهد. اگر H زیرگروه G باشد می نویسیم .
با توجه به این تعریف اگر H زیرمجموعه‌ای ناتهی از گروه G باشد، H زیرگروه G است اگر و فقط اگر:
1. H تحت عمل G بسته باشد یعنی برای هر a,b∈H داشته باشیم ab∈H
2.H تحت معکوس هر عضو بسته باشد، یعنی اگر a∈H آنگاه a-1∈H
توجه داشته باشید که خاصیت شرکت پذیری خود به خود برقرار است
________
مرتبه گروه

به تعداد عناصر هر گروه مرتبه آن گروه می گوییم. اگر تعداد عناصر یک گروه متناهی باشد، می گوییم ان گروه از مرتبه متناهی یا متناهی است و در غیر این صورت گروه را نامتناهی می نامیم.
مرتبه گروه G را با |G| نشان می دهیم.
قضیه لاگرانژ در مورد گروههای متناهی بیان می‌کند، مرتبه هر زیرگروه از یک گروه، مرتبه آن گروه را عاد می‌کند. یعنی اگر H زیرگروهی از گروه متناهی G باشد آنگاه:
| H | | | G |
(البته ممکن است عددی مرتبه گروه را عادکندولی آن گروه شامل زیرگروهی باآن مرتبه نباشد که نشان می‌دهد عکس قضیه فوق همیشه برقرارنیست)
________
گروه دوری

گروه G را دوری می گوییم هرگاه x∈G موجود باشد، که <G=<x.(به زبان ساده ترهر یک ازاعضای Gرا بتوان به صورت ترکیب خطی از xنوشت) در این صورت x را مولد G می گوییم. بعلاوه اگر G یک گروه باشد برای هر x∈G زیرگروه <x> را زیرگروه دوری G می گوییم.
______________________
قضایای بنیادی در مورد گروها

در هر گروه عضو خنثی یکتاست.
در هر گروه معکوس هر عضو یکتاست.
با توجه به این قضیه اگر G یک گروه باشد و a∈G معکوس a را با a − 1 نشان میدهیم.
اگر G یک گروه باشد و a∈G آنگاه (a − 1) − 1 = a
اگر G یک گروه باشد و a,b∈G آنگاه (ab) − 1 = b − 1a − 1 واگر G آبلی باشد، (ab) − 1 = a − 1b − 1
اگر G یک گروه باشد و a,b,c∈G آنگاه:
اگر ac=bc آنگاه a=b (قانون حذف از راست)
اگر ca=cb آنگاه a=b (قانون حذف از چپ)
______________________
قضایای مهم در نظریه گروهها

قضیه لاگرانژ
قضیه پوانکاره
قضیه کیلی
قضایای سیلو
قضایای ایزومورفیسم
لم جوردن-هولدر
_____
کاربرد

گروه‌ها در زمینه علوم گوناگون مانند بلورشناسی، کوانتم و فیزیک و ... دارای کاربردهای فراوان هستند. به عنوان مثال در شیمی و بلورشناسی گروهها برای طبقه بندی ساختار بلورها و چندوجهی های منظم، تقارن های ملکولی استفاده می‌شوند.
بعلاوه از گروهها در زمینه رمزنگاری و مسایل امنیتی نیز استفاده فراوان می‌شود.
همچنین از مفاهیم موجود در این نظریه همانند قضایای سیلو، زیرگروههای نرمالف گروههای آبلی و ... در شاخه‌های گوناگون ریاضیات چون هندسه جبری،توپولوژی جبری، مسایل ترسیم پذیری،نظریه جبری اعداد و.. استفاده می‌شود.

ببخشید اگه کم یا نا مناسبه

....
..
.

 

[C_o_D]

پاسخ : نظریه ی گروه ها

سلام

ایندفعه منابع یادم رفت :
1.دی.اس.مالک-جال.ان.مردسون-ام.ک.سن. اساس جبر مجرد. ترجمهٔ دکتر محمد رضا رجب زاده مقدم-سید محمد داورپناه. مشهد: دانشگاه امام رضا(ع). ‏
2.دان ساراسینو. جبر مجرد. ترجمهٔ محمد رضا فلکی. مشهد: نشر اقلیدس. ‏
3.اسرائیل ناتان هراشتاین. جبر مجرد. ترجمهٔ دکتر علی اکبر عالم زاده. تهران: موسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف.

....
..
.