پاسخ : نظریه ی گروه ها
سلام
حالا یکم تخصصی تر :
تعریف گروه
ابتدا یادآوری می کنیم که یک ساختمان جبری عبارت است از یک مجموعه به همراه یک یا چند عمل دوتایی و رابطه که روی آن مجموعه تعریف شده است. گروه نیز از جمله ساختمان های جبری است.
ساختمان جبری (G, * ) (مجموعه G به همراه عمل دوتایی *) یک گروه است هرگاه واجد شرایط زیر باشد:
1.عمل * در G شرکت پذیر باشد. یعنی برای هر a,b,c∈G داشته باشیم a*(b*c)=(a*b)*c.
2.G نسبت به عمل * دارای عضو خنثی باشد، یعنی عضوی چون e∈G موجود باشد که برای هر a∈G، داشته باشیم a*e=e*a=a.
3.هر عضو G نسبت به عمل * دارای عضو معکوس باشد، یعنی برای هر a∈G عضوی چون b∈G موجود باشد که a*b=b*a=e.
منشائ این اصول بر حسب تجربه و متأثر از تاریخ مطالعه گروهها است.
در تعریف یک گروه لازم نیست که عمل تعریف شده در گروه G، جابجایی(تعویض پذیر) باشد اما برخی از گروهها دارای این خاصیت هستند. این گروهها از اهمیت ویژهای برخودارند و به افتخار نیلز هنریک آبل گروههای آبلی نامیده میشوند.
همچنین گروه G دارای تعداد متناهی عضو باشد، G را گروه متناهی می گوییم. به تعداد عناصر یک گروه مرتبه گروه می گوییم.
. ... ... ... قرار داد: همانطور که در مورد هر ساختمان جبری عمل میشود برای سهولت در نوشتن، بجای a*b می نویسیم ab.
______
زیرگروه
زیرمجموعه ناتهی H از گروه G را زیرگروه G می گوییم هرگاه H تحت عمل گروه G تشکیل یک گروه بدهد. اگر H زیرگروه G باشد می نویسیم .
با توجه به این تعریف اگر H زیرمجموعهای ناتهی از گروه G باشد، H زیرگروه G است اگر و فقط اگر:
1. H تحت عمل G بسته باشد یعنی برای هر a,b∈H داشته باشیم ab∈H
2.H تحت معکوس هر عضو بسته باشد، یعنی اگر a∈H آنگاه a-1∈H
توجه داشته باشید که خاصیت شرکت پذیری خود به خود برقرار است
________
مرتبه گروه
به تعداد عناصر هر گروه مرتبه آن گروه می گوییم. اگر تعداد عناصر یک گروه متناهی باشد، می گوییم ان گروه از مرتبه متناهی یا متناهی است و در غیر این صورت گروه را نامتناهی می نامیم.
مرتبه گروه G را با |G| نشان می دهیم.
قضیه لاگرانژ در مورد گروههای متناهی بیان میکند، مرتبه هر زیرگروه از یک گروه، مرتبه آن گروه را عاد میکند. یعنی اگر H زیرگروهی از گروه متناهی G باشد آنگاه:
| H | | | G |
(البته ممکن است عددی مرتبه گروه را عادکندولی آن گروه شامل زیرگروهی باآن مرتبه نباشد که نشان میدهد عکس قضیه فوق همیشه برقرارنیست)
________
گروه دوری
گروه G را دوری می گوییم هرگاه x∈G موجود باشد، که <G=<x.(به زبان ساده ترهر یک ازاعضای Gرا بتوان به صورت ترکیب خطی از xنوشت) در این صورت x را مولد G می گوییم. بعلاوه اگر G یک گروه باشد برای هر x∈G زیرگروه <x> را زیرگروه دوری G می گوییم.
______________________
قضایای بنیادی در مورد گروها
در هر گروه عضو خنثی یکتاست.
در هر گروه معکوس هر عضو یکتاست.
با توجه به این قضیه اگر G یک گروه باشد و a∈G معکوس a را با a − 1 نشان میدهیم.
اگر G یک گروه باشد و a∈G آنگاه (a − 1) − 1 = a
اگر G یک گروه باشد و a,b∈G آنگاه (ab) − 1 = b − 1a − 1 واگر G آبلی باشد، (ab) − 1 = a − 1b − 1
اگر G یک گروه باشد و a,b,c∈G آنگاه:
اگر ac=bc آنگاه a=b (قانون حذف از راست)
اگر ca=cb آنگاه a=b (قانون حذف از چپ)
______________________
قضایای مهم در نظریه گروهها
قضیه لاگرانژ
قضیه پوانکاره
قضیه کیلی
قضایای سیلو
قضایای ایزومورفیسم
لم جوردن-هولدر
_____
کاربرد
گروهها در زمینه علوم گوناگون مانند بلورشناسی، کوانتم و فیزیک و ... دارای کاربردهای فراوان هستند. به عنوان مثال در شیمی و بلورشناسی گروهها برای طبقه بندی ساختار بلورها و چندوجهی های منظم، تقارن های ملکولی استفاده میشوند.
بعلاوه از گروهها در زمینه رمزنگاری و مسایل امنیتی نیز استفاده فراوان میشود.
همچنین از مفاهیم موجود در این نظریه همانند قضایای سیلو، زیرگروههای نرمالف گروههای آبلی و ... در شاخههای گوناگون ریاضیات چون هندسه جبری،توپولوژی جبری، مسایل ترسیم پذیری،نظریه جبری اعداد و.. استفاده میشود.
ببخشید اگه کم یا نا مناسبه
....
..
.