- شروع کننده موضوع
- #1
mamalmln
کاربر حرفه‌ای
- ارسال‌ها
- 414
- امتیاز
- 151
- نام مرکز سمپاد
- شهید بهشتی شهر ری
- شهر
- تهران
- مدال المپیاد
- فیزیک
مسئله : یک کره ی به چگالی ثابت ρ را در نظر بگیرید .فرض کنید این کره در تمام نقاط خود تعادل هیدروستاتیک دارد یعنی نیروی گرانشش توسط فشار گازی که کره را می سازد خنثی می شود .معادله ای برای تغییرات فشار در فاصله r از مرکز کره بیابید .
راه حل یک :لایه ای کروی به ضخامت بسیار کم dr در فاصله r در نظر می گیریم .
اکنون معادلات تعادل شعاعی را می نویسیم :
P(r)A(r)-[ P(r)+dp][A(r)+dA]-(GM dm)/r^2 =0
dA=4π(r+dr)^2-4πr^2=8πrdr
dm=ρdV=ρ 4πr^2 dr
-P(r)dA-A(r)dp-(GM ρ4πr^2 dr)/r^2 =0
-P(r)8πrdr-4πr^2 dp-4πρGMdr=0□(→┴(/dr) )
dp/dr=-2P/r-GMρ/r^2
توجه داریم که تمامی جملات را تا مرتبه یکم dr نیاز داریم . M همان جرم محصور تا شعاع r است که اصلا اینجا برایمان مهم نیست .اکنون به حل دوم نگاه کنید
دوم :
عنصرمان را به جای یک کره ی نازک یک مکعب مستطیل و یا حتی یک استوانه می گیریم .فرض می کنیم مساحت این عنصر در راستای عمود بر r برابر A باشد .طول عنصر را dr می گیریم .اکنون همان روابط قبلی را می نویسیم .البته اینجا A ثابت است !
P(r)A-[P(r)+dp]A-(GM dm)/r^2 =0
-Adp-(GM (ρAdr))/r^2 =0
dp/dr=-GMρ/r^2 (?)
چرا جواب ها فرق دارند ؟ و کدام جواب درست است ؟ در همه ی کتاب ها رابطه ی دوم نوشته شده .پس اشکال استدلال اول کجاست ؟
(من شک ندارم که رابطه ی دوم درسته .چون با رابطه ی زیر هم به همین می رسیم که توی همه ی کتاب های مکانیک سیالات هست و معتبره.)
∇ ⃗P+ ρg ⃗=0
-∂p/∂r=GMρ/r^2
مشکل کجاست ؟
و چرا راه اول غلطه؟؟؟
راه حل یک :لایه ای کروی به ضخامت بسیار کم dr در فاصله r در نظر می گیریم .
اکنون معادلات تعادل شعاعی را می نویسیم :
P(r)A(r)-[ P(r)+dp][A(r)+dA]-(GM dm)/r^2 =0
dA=4π(r+dr)^2-4πr^2=8πrdr
dm=ρdV=ρ 4πr^2 dr
-P(r)dA-A(r)dp-(GM ρ4πr^2 dr)/r^2 =0
-P(r)8πrdr-4πr^2 dp-4πρGMdr=0□(→┴(/dr) )
dp/dr=-2P/r-GMρ/r^2
توجه داریم که تمامی جملات را تا مرتبه یکم dr نیاز داریم . M همان جرم محصور تا شعاع r است که اصلا اینجا برایمان مهم نیست .اکنون به حل دوم نگاه کنید
دوم :
عنصرمان را به جای یک کره ی نازک یک مکعب مستطیل و یا حتی یک استوانه می گیریم .فرض می کنیم مساحت این عنصر در راستای عمود بر r برابر A باشد .طول عنصر را dr می گیریم .اکنون همان روابط قبلی را می نویسیم .البته اینجا A ثابت است !
P(r)A-[P(r)+dp]A-(GM dm)/r^2 =0
-Adp-(GM (ρAdr))/r^2 =0
dp/dr=-GMρ/r^2 (?)
چرا جواب ها فرق دارند ؟ و کدام جواب درست است ؟ در همه ی کتاب ها رابطه ی دوم نوشته شده .پس اشکال استدلال اول کجاست ؟
(من شک ندارم که رابطه ی دوم درسته .چون با رابطه ی زیر هم به همین می رسیم که توی همه ی کتاب های مکانیک سیالات هست و معتبره.)
∇ ⃗P+ ρg ⃗=0
-∂p/∂r=GMρ/r^2
مشکل کجاست ؟
و چرا راه اول غلطه؟؟؟
