المپیاد مرحله اوّل سی‌ویک‌ُمین دوره المپیاد ریاضی

[dani]

پاسخ : مرحله اوّل 31 دوره المپیاد ریاضی

مینیمم نمرات میتونه عدد 3 باشه!
چون حداکثر تعداد بیستا میتونه 5 تا باشه
بعدش حداکثر 5 تا 19 میتونه باشه که در نهایت واسه اینکه میانگین بشه 18 باید 3 باشه که دیگه از این کمتر نمی تونه باشه!
درسته؟

 

[AlirezaRajabi]

پاسخ : مرحله اوّل 31 دوره المپیاد ریاضی

درسته!

از بین سوالایی که مینویسم اگه هر کس مشکلی داشت بگه تا کامل توضیح بدم !
الان 3 روزه که هر شب یه سوال میزارم و تا فرداش دوستان حل میکنن. این سوالایی که میزارم از مرحله ی اول دوره های 29 و 30 هست که ایشالله تا قبل از المپیاد تموم میشه!

و حالا سوال چهارم:
قیمت سهام شرکت ((نوسان سازان شدید)) دچار نوسانات شدیدی شده است! در ابتدای ورود شرکت به بازار بورس ,هر سهم ان هزار ریال قیمت گذاری شد. پس از یک روز قیمت هر سهم یک ریال کاهش پیدا کرد. سپس به مدت دو روز هر روز یک ریال افزایش یافت و به مدت سه روز هر روز یک ریال کاهش یافت و الی اخر. بعد از گذشت 365 روز از ورود شرکت به بازار بورس قیمت هر سهم چند ریال داشت؟

 

[dani]

پاسخ : مرحله اوّل 31 دوره المپیاد ریاضی

به نظر من باید قیمت هر سهام 999ریال باشه.
چون که روز اول که میاد 1000 ریاله.
فرداش یکی کم.
دو روز بعد اون 1001.
و ... اینطوری روز 365ام میشه همون 364 بعد از گذشته ورود به بورس که اگه حساب کنیم میشه 13 روز که داره بعد از بیست و هفت روز کاهش افزایش داره که واسع هر دو دوره کاهش و افزایش مثبت یک داره با این سیزده تا جمع میشه و منهای بیست و هفت میشه منفی یک که یعنی 999ریال.
این چطور؟
درست حل کردمش؟

 

[AlirezaRajabi]

پاسخ : مرحله اوّل 31 دوره المپیاد ریاضی

به نظر من باید قیمت هر سهام 999ریال باشه.
چون که روز اول که میاد 1000 ریاله.
فرداش یکی کم.
دو روز بعد اون 1001.
و ... اینطوری روز 365ام میشه همون 364 بعد از گذشته ورود به بورس که اگه حساب کنیم میشه 13 روز که داره بعد از بیست و هفت روز کاهش افزایش داره که واسع هر دو دوره کاهش و افزایش مثبت یک داره با این سیزده تا جمع میشه و منهای بیست و هفت میشه منفی یک که یعنی 999ریال.
این چطور؟
درست حل کردمش؟

درسته!

وحالا سوال 5:

به ازای چند عدد صحیح a,معادله ی x^2+ax+1389=0 ریشه ای صحیح دارد؟

 

[dani]

پاسخ : مرحله اوّل 31 دوره المپیاد ریاضی

درسته!

وحالا سوال 5:

به ازای چند عدد صحیح a,معادله ی x^2+ax+1389=0 ریشه ای صحیح دارد؟

من که یکم،سرم شلوغ شد نتونستم درست و حسابی روش فکر کنم!
کس دیگه ای حلش نکرده؟
اون سالم این سوالم موندش!
ایده اش اینه که دلتارو پیدا کنیم و بعدش حالتایی که مجذور کامل میشه رو پیدا کنیم!

 

[AlirezaRajabi]

پاسخ : مرحله اوّل 31 دوره المپیاد ریاضی

من که یکم،سرم شلوغ شد نتونستم درست و حسابی روش فکر کنم!
کس دیگه ای حلش نکرده؟
اون سالم این سوالم موندش!
ایده اش اینه که دلتارو پیدا کنیم و بعدش حالتایی که مجذور کامل میشه رو پیدا کنیم!

دوستمون درست میگن x بدست میاد, که باید زیر رادیکال مجدور کامل باشه , زیر رادیکالو برابرk^2 میگیریم و مجهول هارو یه طرف میبریم معلومارو یه طرف که یه اتحاد تشکیل میده بعد خودمون میتونیم از رو اون اتحاد 8 تا دستگاه بدست بیاریم که این 8 تا دستگاه 4 جواب متمایز برای aتولید میکنه:1390,1390,466-,466-

سوال6:
فرض کنید nکوپکترین عدد طبیعی بزرگتر از یک باشد که برای m از 2 تا 6 ,فرجه ی mام n عدد طبیعی است. nچند مقسوم علیه مثبت دارد؟

 

[dani]

پاسخ : مرحله اوّل 31 دوره المپیاد ریاضی

دوستمون درست میگن x بدست میاد, که باید زیر رادیکال مجدور کامل باشه , زیر رادیکالو برابرk^2 میگیریم و مجهول هارو یه طرف میبریم معلومارو یه طرف که یه اتحاد تشکیل میده بعد خودمون میتونیم از رو اون اتحاد 8 تا دستگاه بدست بیاریم که این 8 تا دستگاه 4 جواب متمایز برای aتولید میکنه:1390,1390,466-,466-

سوال6:
فرض کنید nکوپکترین عدد طبیعی بزرگتر از یک باشد که برای m از 2 تا 6 ,فرجه ی mام n عدد طبیعی است. nچند مقسوم علیه مثبت دارد؟

حلش رو نمیدونستم!جالبه!
خب جواب این سوالم این طوری حل میشه که باید ک.م.م اعداد 2تا6 رو پیدا کنیم که میشه 60 پس m توان 60ام یه عدد دیگه هستش پس تعداد مقسوم علیه هاش باید 61 تا باشه!
درسته؟!

 

[AlirezaRajabi]

پاسخ : مرحله اوّل 31 دوره المپیاد ریاضی

حلش رو نمیدونستم!جالبه!
خب جواب این سوالم این طوری حل میشه که باید ک.م.م اعداد 2تا6 رو پیدا کنیم که میشه 60 پس m توان 60ام یه عدد دیگه هستش پس تعداد مقسوم علیه هاش باید 61 تا باشه!
درسته؟!

ببخشید چند روز نبودم!
خیلی خوب سوالارو حل میکنی این دفعه هم جوابت درسته ! پارسال در اومدی یانه؟ اگه اره تو کدوم مراحل؟تا حالا چیا رو خوندی؟
سوال هفتم:
طول محفظه ی کامیونی 4 متر و عرض و ارتفاع ان 2 متر است مقداری اب در محفظه ی کامیون جمع شده که در حالت افقی 10 سانتی متر ارتفاع دارد. راننده میخواهد برای جلوگیری از زنگ زدن محفظه ان را بالا بیاورد بطوری که سطح تماس اب با بدنه کمترین مقدار شود. سقف و در محفظه بسته است. او باید چند درجه محغظه را بالا بیاورد؟(اگر جواب اعشاری است قسمت صحیح ان را بنویسید).

 

[dani]

پاسخ : مرحله اوّل 31 دوره المپیاد ریاضی

ببخشید چند روز نبودم!
خیلی خوب سوالارو حل میکنی این دفعه هم جوابت درسته ! پارسال در اومدی یانه؟ اگه اره تو کدوم مراحل؟تا حالا چیا رو خوندی؟
سوال هفتم:
طول محفظه ی کامیونی 4 متر و عرض و ارتفاع ان 2 متر است مقداری اب در محفظه ی کامیون جمع شده که در حالت افقی 10 سانتی متر ارتفاع دارد. راننده میخواهد برای جلوگیری از زنگ زدن محفظه ان را بالا بیاورد بطوری که سطح تماس اب با بدنه کمترین مقدار شود. سقف و در محفظه بسته است. او باید چند درجه محغظه را بالا بیاورد؟(اگر جواب اعشاری است قسمت صحیح ان را بنویسید).

از مرحله1 قبول شدم ولی مرحله2 نه.
واسه این سوالم به نظرم باید رابطه ای رو که باهاش میشه گف که با حجم ثابت مینیمم مساحت مال کدوم منشوره!
مطمئن نیستم ولی شاید 45درجه باشه!!!
چون من که این جوری آوردم که اگه دو ضلع قائم مثلث با هم برابر باشند مینیمم مساحت میشه!
البته بعید میدونم حلم درست باشه!!!!!!!!!!!

 

[AlirezaRajabi]

پاسخ : مرحله اوّل 31 دوره المپیاد ریاضی

از مرحله1 قبول شدم ولی مرحله2 نه.
واسه این سوالم به نظرم باید رابطه ای رو که باهاش میشه گف که با حجم ثابت مینیمم مساحت مال کدوم منشوره!
مطمئن نیستم ولی شاید 45درجه باشه!!!
چون من که این جوری آوردم که اگه دو ضلع قائم مثلث با هم برابر باشند مینیمم مساحت میشه!
البته بعید میدونم حلم درست باشه!!!!!!!!!!!

مسئله رو به دوقسمت تثسیم میکنیم!
اول فکر میکنیم که یه کمی محفظه رو بالا اوردیم در این صورت نیمرخی که ما میبینیم یه ذوزنقه س میبینیم که در این حالت سطح مقطع اصلا تغییر نمیکند.سراغ قسمت دوم میرویم :محفظه را بیشتر بالا میبریم طوری که نیمرخی که ما میبینیم یک مثلث شود در اخر سر به این عبارت میرسیم که سطح مقطع برابر است با:8/10+2(x+y) وxy=8/10
وقتی حاصل ضرب دو عدد ثابت باشد مجموع انها وقتی مینیمم است که x=y باشد پس زاویه ی چرخش 45 درجه میشود.