المپیاد سوالات پيشنهادي المپياد هندسه

[Fliqpy]

سلام
جالبه بدونيد كه المپياد هندسه هم مثل المپياد جهاني شورت ليست داشته.
سوالات شورت ليست المپياد هندسه ٩٣ رو اينجا قرار ميدم.
سوال ١)

مركز دايره محاطي مثلث

است و

و

در

متقاطعند. وسط كمان

از دايره محيطي كه شامل

هست را

ميناميم. فرض كنيد محل برخورد

و دايره محيطي

باشد. ثابت كنيد اگر محل برخورد

و

برابر

باشد آنگاه

و

موازيند.

(طرح علي ذوعلم)​

سوال ٢) اگر

و

دو متوازي الاضلاع باشند به طوري كه

و

و

محل برخورد

و

باشد، آنگاه همخطي

با همخطي

معادل است.

(طرح علي ذوعلم)​

٣) فرض كنيد

يك چهارضلعي محاطي باشد كه در آن

وسط كمان

و

محل برخورد قطرهاي چهارضلعي است. ثابت كنيد اگر

بر

عمود باشد و

آنگاه چهارضلعي ما يك ذوزنقه است.

(طرح مرتضي ثقفيان)​

٤)فرض كنيد

يك چهاروجهي باشد و

كره اي باشد كه دواير محاطي مثلثهاي

و

و

روي آن قرار دارند. ثابت كنيد دايره محاطي مثلث

نيز روي كره

قرار دارد.

(طرح مرتضي ثقفيان)​

٥) در مثلث

،

محل برخورد

و مماس مرسوم از

بر دايره محيطي است. فرض كنيد

نقاطي روي

باشند به طوري كه

.
ثابت كنيد

.

(طرح علي زماني)​

٦)فرض كنيد

و

ارتفاع هاي مثلث

باشند كه در

متقاطعند. قرينه

و

نسبت به

و

به ترتيب

و

هستند. فرض كنيد مركز دايره محيطي

برابر

باشد. همچنين وسط

را

در نظر بگيريد.

محل برخورد

و

است. ثابت كنيد

كه در آن

مركز دايره محيطي مثلث است.

(طرح علي زماني)​

 

[Fliqpy]

پاسخ : سوالات پيشنهادي المپياد هندسه

دو تا سوال ديگه هم بود كه يادم رفت بنويسم:
٧) در مثلث حاده الزاويه

،محل برخورد ارتفاعها

است و

و

روي

و

قرار دارند بطوري كه

.
ثابت كنيد اگر

آنگاه دواير محيطي دو مثلث

و

مماسند .

(طرح داوود وكيلي)​

٨) فرض كنيد در مثلث

، نيمساز

را رسم كرده ايم و وسط آن يعني

را مشخص كرده ايم. خطي كه از

ميگذرد و با

موازي است دايره محيطي مثلث را در

قطع ميكند. فرض كنيد

وسط كمان كوچكتر

است.

دايره محيطي را در

قطع كند. بطور مشابه

را نيز تعريف ميكنيم. ثابت كنيد سه خط

همرسند.

(طرح داود وكيلي)

​

 

[Aliovski]

خب،توی وبسایت https://igo-official.ir یه فایل هست،سوالات مرحله دوی چندین سال اخیر...باشد که استفاده کنید.
http://s9.picofile.com/file/8367567276/2nd_Round_Geometry_IRAN_75_95.pdf.html

 

[Ario_A]

در مثلث ABC می دانیم ضلع BC کوچک ترین ضلع است. M نقطه ای دلخواه داخل مثلث است. اثبات کنید AM+BM+CM<AB+AC.

 

[Ario_A]

مثلث ABC و دو نقطه ی دلخواه P و Q داخل آن مفروض اند. اثبات کنیدAB+BC+CA+PQ<PA+PB+PC+QA+QB+QC

 

[Ario_A]

در شش ضلعی محدب ABCDEF می دانیم قطرهای اصلی در نقطه ی M همرس اند و زاویه ی بین هر دو قطر اصلی برابر است با ۶۰. اگر بدانیم MA<MC<ME و MB<MD<MF. اثبات کنیدAB+CD+EF<BC+DE+FA

 

[Ario_A]

در مثلث حاده الزوایای ABC می دانیم AB<AC. نقطه های K و L به ترتیب بر AB و AC قرار دارند به طوری که AK=CL. اثبات کنید KL>BC/2.

 

[Ario_A]

پنج ضلعی محدب ABCDE مفروض است. رئوس پنج ضلعی KLMNP نقاط وسط اضلاع ABCDE است. اثبات کنید محیط KLMNP از نصف محیط ABCDE بیشتر است.

 

[Ario_A]

n نقطه ی A1,A2,...,An بر دایره ای به شعاع واحد قرار دارند. اثبات کنید نقطه ای مثل M بر دایره وجود دارد به طوری که داشته باشیمMA1+...+MAn>n

 

[Ario_A]

در مثلث ABC داریم b>c. اگر G مرکز ثقل مثلث باشد اثبات کنید(b-c)/3<GC-GB<b-c

 

[Ario_A]

قطرهای چهارضلعی محدب ABCD در P متقاطع اند. اگر a و b دو زاویه باشند که a+b=BPC اثبات کنیدAD+BC>AC.sin a + BD.sin b

 

[Ario_A]

در چهارضلعی محاطی ABCD داریم A>B. اثبات کنید AC+AD<BC+BD.

 

[Ario_A]

سطح سوالا بین یک مرحله دو تا دو مرحله سه متفاوتن.

 

[DarkLord]

باز کنید این تاپیکا رو براش تا نکشته خودشو

 

[Ario_A]

باز کنید این تاپیکا رو براش تا نکشته خودشو

عاقبت

 

[Ario_A]

برای اینکه اونور شلوغ نشه همه سوالارو اینور میفرستم

 

[Ario_A]

یه مثلث دلخواه داریمدایره محیطیش رو میکشیم دو نقطه داخل کمان های کوچک مثلث انتخاب میکنیم و به راس رو به روش وصل میکنیم.محل برخورد رو اگر G فرض کنیم، نسبت به دو ضلع قرینه کنیم دوایر گذرنده از نقطه همرسی و اون دو خط دلخواهه روی دایره همرسن

 

[Ario_A]

اگر در یک حالت این nتا دایره باشند که زنجیروار برهم مماس باشند یعنی آخری هم بر اولی مماس باشد آنگاه دایره اول از هرجا شروع بشه نیز این n دایره زنجیروار بر هم مماسن

 

[Ario_A]

مثلث ABC مفروض است. BE و CF ارتفاع‌های مثلث‌اند. خط مماس بر دایره محیطی در B امتداد AC را در K و خط مماس بر دایره محیطی در C امتداد AB را در L قطع می‌کند. M و N وسط‌های BK و CL اند. اثبات کنید خطوط BC و EF و MN همرس‌اند.

 

[Ario_A]

در مثلث ABC نقطه‌ی O مرکز دایره محیطی و I مرکز دایره محاطی است. P قرینه‌ی A نسبت به خط OI است عمود منصف IP خط BC را در X قطع می‌کند. اثبات کنید زاویه‌ی OIX قائمه است.