• اگر سمپادی هستی همین الان عضو شو :
    ثبت نام عضویت

سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

  • شروع کننده موضوع کاربر حذف شده 8031
  • تاریخ شروع

ali.kh2000

کاربر فعال
ارسال‌ها
33
امتیاز
26
نام مرکز سمپاد
شهید بهشتی
شهر
نیشابور
مدال المپیاد
کانگورو(۲شهر) مرآت(اول کشور)
دانشگاه
اکسفورد!!
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

من که هیچی از اینا حالیم نمیشه!!

یکم آسون تر بذارین!!!! :)) =)) =))
 

fitmal

کاربر فوق‌حرفه‌ای
ارسال‌ها
812
امتیاز
3,333
نام مرکز سمپاد
farzanegan 2
شهر
کرمان (1 ر) - تهران (بقیه)
مدال المپیاد
یه سری مرحله 1 :-" 1 مرحله 2 :-"
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

یک عدد سوال مرحله 2 ! :-"
P| n^3 - 1
, n | p-1
حکم : 4p -3 مربع کامل است
n € N , n> 1
و p اول است!
 

Fliqpy

کاربر نیمه‌حرفه‌ای
ارسال‌ها
181
امتیاز
303
نام مرکز سمپاد
غیر انتفاعی علامه حلی 3
شهر
تهران
مدال المپیاد
هر جوری حساب میکنم افتخار نمیکنم بهش
دانشگاه
شريف
رشته دانشگاه
نرم افزار
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

ثابت کنید
p=n(n-1)+1
به این روش که تو عاد کردن ها الگوریتم تقسیم بنویسین
یه مثال که با این سوال حل میشه تو آزمون 23 اسفند گروه آفتاب بود که سوالاش الان رو سایت گروه آفتابه.
 

AlirezaRajabi

کاربر حرفه‌ای
ارسال‌ها
332
امتیاز
2,930
نام مرکز سمپاد
شهید بهشتی
شهر
ابهر
دانشگاه
تبریز
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

بچه کسی این سوالو قبلا دیده؟چجوری اثبات میشه؟
سوال:ثابت کنیدn امین عدد طبیعی که مربع کامل نیست را میتوان از رابطه ی [n+sqrt(n)+.5] بدست اورد!
 

javadss

کاربر فعال
ارسال‌ها
50
امتیاز
20
نام مرکز سمپاد
علامه
شهر
تهران
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

فرض کنید p یک چند جمله ای با ضرایب صحیح باشد
ثابت کنید n وجود دارد بطوریکه تمام مقادیر (p(n+1 و (p(n+2 و ..... و (p(n+100 مرکب باشند
 

Fliqpy

کاربر نیمه‌حرفه‌ای
ارسال‌ها
181
امتیاز
303
نام مرکز سمپاد
غیر انتفاعی علامه حلی 3
شهر
تهران
مدال المپیاد
هر جوری حساب میکنم افتخار نمیکنم بهش
دانشگاه
شريف
رشته دانشگاه
نرم افزار
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

به نقل از javadss :
فرض کنید p یک چند جمله ای با ضرایب صحیح باشد
ثابت کنید n وجود دارد بطوریکه تمام مقادیر (p(n+1 و (p(n+2 و ..... و (p(n+100 مرکب باشند
دقت كنيد كه اگر p ثابت نباشد در اين صورت اعداد دنباله p(1),p(2),... بينهايت عامل اول دارد.
فرض كنيد ١٠٠ تا از اين اعداد q1,...,q100 باشند . پس براي هر i بين ١ تا ١٠٠ xi وجود دارد كه qi|p(xi).
دقت كنيد كه qi|p(xi+kqi) . پس طبق قضيه باقيمانده چيني بينهايت x وجود دارد كه x به پيمانه qi برابر با i+xi شود. ،پس x را طوري درنظر بگيريد كه از همه ريشه هاي p(x) ، p(x)-qi و p(x)+qi بيشتر شود.چون اين سه چند جمله اي متناهي ريشه دارند اين كار امكان پذير است. در اين صورت بديهتا n=x در شرايط مساله صدق ميكند.
 

javadss

کاربر فعال
ارسال‌ها
50
امتیاز
20
نام مرکز سمپاد
علامه
شهر
تهران
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

به نقل از ناهمساز :
دقت كنيد كه اگر p ثابت نباشد در اين صورت اعداد دنباله p(1),p(2),... بينهايت عامل اول دارد.
فرض كنيد ١٠٠ تا از اين اعداد q1,...,q100 باشند . پس براي هر i بين ١ تا ١٠٠ xi وجود دارد كه qi|p(xi).
دقت كنيد كه qi|p(xi+kqi) . پس طبق قضيه باقيمانده چيني بينهايت x وجود دارد كه x به پيمانه qi برابر با i+xi شود. ،پس x را طوري درنظر بگيريد كه از همه ريشه هاي p(x) ، p(x)-qi و p(x)+qi بيشتر شود.چون اين سه چند جمله اي متناهي ريشه دارند اين كار امكان پذير است. در اين صورت بديهتا n=x در شرايط مساله صدق ميكند.
بسیار عالی بود
البته برای بر نخوردن به مشکل منفی بودن (p(x میشه اصلا واسه هر p دوتا عامل در نظر گرفت



حالا یه سوال دیگه:

آیا دنباله ی اکیدا صعودی {an} ( اون n اندیسه) وجود دارد که به ازای هر k صحیح دنباله ی an + k دارای متناهی عدد اول باشد؟


(دوستان خواهشا سوال بذارید خیلی اینجا سوت و کوره)
 

Fliqpy

کاربر نیمه‌حرفه‌ای
ارسال‌ها
181
امتیاز
303
نام مرکز سمپاد
غیر انتفاعی علامه حلی 3
شهر
تهران
مدال المپیاد
هر جوری حساب میکنم افتخار نمیکنم بهش
دانشگاه
شريف
رشته دانشگاه
نرم افزار
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

به نقل از javadss :
بسیار عالی بود
البته برای بر نخوردن به مشکل منفی بودن (p(x میشه اصلا واسه هر p دوتا عامل در نظر گرفت



حالا یه سوال دیگه:

آیا دنباله ی اکیدا صعودی {an} ( اون n اندیسه) وجود دارد که به ازای هر k صحیح دنباله ی an + k دارای متناهی عدد اول باشد؟


(دوستان خواهشا سوال بذارید خیلی اینجا سوت و کوره)
دنباله an=(n!)^3 رو در نظر بگيريد. هرگاه n از قدر مطلق k بيشتر باشد an بر |k| بخش پذير است. پس اگر k برابر صفر و مثبت منفي يك نباشد، حكم بديهي است.
اگر k=0 نيز حكم بديهي است و اگر k برابر مثبت منفي يك باشد از اتحاد چاق و لاغر استفاده كنيد.
سوال بعدي : فرض كنيد منظور از p(x) بزرگترين عامل اول x^2+1 باشد. ثابت كنيد بينهايت a,b,c طبيعي متمايز يافت ميشوند كه p(a)=p(b)=p(c).
 

javadss

کاربر فعال
ارسال‌ها
50
امتیاز
20
نام مرکز سمپاد
علامه
شهر
تهران
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

به نقل از ناهمساز :
دنباله an=(n!)^3 رو در نظر بگيريد. هرگاه n از قدر مطلق k بيشتر باشد an بر |k| بخش پذير است. پس اگر k برابر صفر و مثبت منفي يك نباشد، حكم بديهي است.
اگر k=0 نيز حكم بديهي است و اگر k برابر مثبت منفي يك باشد از اتحاد چاق و لاغر استفاده كنيد.
سوال بعدي : فرض كنيد منظور از p(x) بزرگترين عامل اول x^2+1 باشد. ثابت كنيد بينهايت a,b,c طبيعي متمايز يافت ميشوند كه p(a)=p(b)=p(c).
اگر میشه قسمتی از حل رو به عنوان راهنمایی قرار بدید
موفق به حلش نشدم! :-?? :-?
 

Fliqpy

کاربر نیمه‌حرفه‌ای
ارسال‌ها
181
امتیاز
303
نام مرکز سمپاد
غیر انتفاعی علامه حلی 3
شهر
تهران
مدال المپیاد
هر جوری حساب میکنم افتخار نمیکنم بهش
دانشگاه
شريف
رشته دانشگاه
نرم افزار
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

ثابت كنيد بي نهايت p اول وجود دارد كه x يافت ميشود كه x>p و p(x)=p
 

javadss

کاربر فعال
ارسال‌ها
50
امتیاز
20
نام مرکز سمپاد
علامه
شهر
تهران
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

ثابت کنید در دنباله ی ۲ به توان n منهای ۳ بینهایت جمله وجود دارد که دوبه دو نسبت به هم اولند
 

سرماخوردگیم

کاربر فعال
ارسال‌ها
23
امتیاز
78
نام مرکز سمپاد
فرزانگان
شهر
کاشان
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

به نقل از ناهمساز :
ثابت كنيد بي نهايت p اول وجود دارد كه x يافت ميشود كه x>p و p(x)=p
ببخشید میشه بگید p(x) چیه؟
 

Fliqpy

کاربر نیمه‌حرفه‌ای
ارسال‌ها
181
امتیاز
303
نام مرکز سمپاد
غیر انتفاعی علامه حلی 3
شهر
تهران
مدال المپیاد
هر جوری حساب میکنم افتخار نمیکنم بهش
دانشگاه
شريف
رشته دانشگاه
نرم افزار
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

به نقل از سرماخوردگیم :
ببخشید میشه بگید p(x) چیه؟
اون کامنت راهنمایی برای سوال دو تا بالاتره.
 

سرماخوردگیم

کاربر فعال
ارسال‌ها
23
امتیاز
78
نام مرکز سمپاد
فرزانگان
شهر
کاشان
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

به نقل از M O D A F E :
ثابت کنید در دنباله ی ۲ به توان n منهای ۳ بینهایت جمله وجود دارد که دوبه دو نسبت به هم اولند
gif.latex

gif.latex

gif.latex

از این دو تا بالا نتیجه میشه:
gif.latex

و واضحه که d 3 نیست پس یکه.
پس هر دو جمله متوالی نسبت به هم اولند در نتیجه بی نهایت زوج وجود دارند که نسبت به هم اولند.

امیدوارم سوالو بد نفهمیده باشم.
 

Fliqpy

کاربر نیمه‌حرفه‌ای
ارسال‌ها
181
امتیاز
303
نام مرکز سمپاد
غیر انتفاعی علامه حلی 3
شهر
تهران
مدال المپیاد
هر جوری حساب میکنم افتخار نمیکنم بهش
دانشگاه
شريف
رشته دانشگاه
نرم افزار
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

دو به دو نسبت به هم اولند، یعنی هر دو تاشون نسبت به هم اولند. یعنی مثلا a1,a2,... که 1=(ai,aj) برای هر i>j.
 

javadss

کاربر فعال
ارسال‌ها
50
امتیاز
20
نام مرکز سمپاد
علامه
شهر
تهران
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

به نقل از سرماخوردگیم :
gif.latex

gif.latex

gif.latex

از این دو تا بالا نتیجه میشه:
gif.latex

و واضحه که d 3 نیست پس یکه.
پس هر دو جمله متوالی نسبت به هم اولند در نتیجه بی نهایت زوج وجود دارند که نسبت به هم اولند.

امیدوارم سوالو بد نفهمیده باشم.
برای حل این سوال یه جمله دلخواه درنظر بگیرید و ثابت کنید یه جمله بعد از اون هست که بهش بخش پذیره
اینطوری یه دنباله نامتناهی با شروط مساله خواهیم داشت
 

دهقان خلافکار128

کاربر فوق‌حرفه‌ای
ارسال‌ها
805
امتیاز
7,460
نام مرکز سمپاد
حلی دُ
شهر
تهران
سال فارغ التحصیلی
96
مدال المپیاد
نقره ریاضی 95
دانشگاه
تهران
رشته دانشگاه
پزشکی
تلگرام
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

تمام a , b , c های طبیعی را بیابید که a^2 + 2b + c و b^2 + 2c + a و c^2 + 2a + b مربع کامل شوند.
 

دهقان خلافکار128

کاربر فوق‌حرفه‌ای
ارسال‌ها
805
امتیاز
7,460
نام مرکز سمپاد
حلی دُ
شهر
تهران
سال فارغ التحصیلی
96
مدال المپیاد
نقره ریاضی 95
دانشگاه
تهران
رشته دانشگاه
پزشکی
تلگرام
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

ثابت کنید زیر مجموعه ای نامتناهی از مجموعه اعداد طبیعی داریم که جمع هر دو عضوش خالی از مربع باشد ... :)
 

دهقان خلافکار128

کاربر فوق‌حرفه‌ای
ارسال‌ها
805
امتیاز
7,460
نام مرکز سمپاد
حلی دُ
شهر
تهران
سال فارغ التحصیلی
96
مدال المپیاد
نقره ریاضی 95
دانشگاه
تهران
رشته دانشگاه
پزشکی
تلگرام
پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

این سوال قبیله سخته یکم ... رو این فک کنید ...
جوابش رو هم یه هفته دیگه میذارم ... خواستید وسط هفته راهنمایی میکنم ...
چند جمله ای P با ضرایب صحیح مفروض است به طوری که به ازای دو عدد طبیعی a و b داریم : 1=(P(a),P(b))
ثابت کنید مجموعه ای نامتناهی از اعداد طبیعی وجود دارد که به ازای هر دو عضو آن مانند c و d داریم : 1=(P(c),P(d))
آسونه ناموسا ... در حد سوال 2 مرحله دوعه ...
 

Amirhsz

کاربر فوق‌فعال
ارسال‌ها
84
امتیاز
109
نام مرکز سمپاد
علامه حلی 1
شهر
تهران
سال فارغ التحصیلی
1404
مدال المپیاد
ندونی جالب تره 😈
همه اعداد طبیعی را پیدا کنید که به تمام اعضای دنباله زیر اول باشند:
an=2^n+3^n+6^n-1
 
بالا