المپیاد سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

[ali.kh2000]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

من که هیچی از اینا حالیم نمیشه!!

یکم آسون تر بذارین!!!!

 

[fitmal]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

یک عدد سوال مرحله 2 !
P| n^3 - 1
, n | p-1
حکم : 4p -3 مربع کامل است
n € N , n> 1
و p اول است!

 

[Fliqpy]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

ثابت کنید
p=n(n-1)+1
به این روش که تو عاد کردن ها الگوریتم تقسیم بنویسین
یه مثال که با این سوال حل میشه تو آزمون 23 اسفند گروه آفتاب بود که سوالاش الان رو سایت گروه آفتابه.

 

[AlirezaRajabi]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

بچه کسی این سوالو قبلا دیده؟چجوری اثبات میشه؟
سوال:ثابت کنیدn امین عدد طبیعی که مربع کامل نیست را میتوان از رابطه ی [n+sqrt(n)+.5] بدست اورد!

 

[javadss]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

فرض کنید p یک چند جمله ای با ضرایب صحیح باشد
ثابت کنید n وجود دارد بطوریکه تمام مقادیر (p(n+1 و (p(n+2 و ..... و (p(n+100 مرکب باشند

 

[Fliqpy]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

فرض کنید p یک چند جمله ای با ضرایب صحیح باشد
ثابت کنید n وجود دارد بطوریکه تمام مقادیر (p(n+1 و (p(n+2 و ..... و (p(n+100 مرکب باشند

دقت كنيد كه اگر p ثابت نباشد در اين صورت اعداد دنباله p(1),p(2),... بينهايت عامل اول دارد.
فرض كنيد ١٠٠ تا از اين اعداد q1,...,q100 باشند . پس براي هر i بين ١ تا ١٠٠ xi وجود دارد كه qi|p(xi).
دقت كنيد كه qi|p(xi+kqi) . پس طبق قضيه باقيمانده چيني بينهايت x وجود دارد كه x به پيمانه qi برابر با i+xi شود. ،پس x را طوري درنظر بگيريد كه از همه ريشه هاي p(x) ، p(x)-qi و p(x)+qi بيشتر شود.چون اين سه چند جمله اي متناهي ريشه دارند اين كار امكان پذير است. در اين صورت بديهتا n=x در شرايط مساله صدق ميكند.

 

[javadss]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

دقت كنيد كه اگر p ثابت نباشد در اين صورت اعداد دنباله p(1),p(2),... بينهايت عامل اول دارد.
فرض كنيد ١٠٠ تا از اين اعداد q1,...,q100 باشند . پس براي هر i بين ١ تا ١٠٠ xi وجود دارد كه qi|p(xi).
دقت كنيد كه qi|p(xi+kqi) . پس طبق قضيه باقيمانده چيني بينهايت x وجود دارد كه x به پيمانه qi برابر با i+xi شود. ،پس x را طوري درنظر بگيريد كه از همه ريشه هاي p(x) ، p(x)-qi و p(x)+qi بيشتر شود.چون اين سه چند جمله اي متناهي ريشه دارند اين كار امكان پذير است. در اين صورت بديهتا n=x در شرايط مساله صدق ميكند.

بسیار عالی بود
البته برای بر نخوردن به مشکل منفی بودن (p(x میشه اصلا واسه هر p دوتا عامل در نظر گرفت



حالا یه سوال دیگه:

آیا دنباله ی اکیدا صعودی {an} ( اون n اندیسه) وجود دارد که به ازای هر k صحیح دنباله ی an + k دارای متناهی عدد اول باشد؟


(دوستان خواهشا سوال بذارید خیلی اینجا سوت و کوره)

 

[Fliqpy]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

بسیار عالی بود
البته برای بر نخوردن به مشکل منفی بودن (p(x میشه اصلا واسه هر p دوتا عامل در نظر گرفت



حالا یه سوال دیگه:

آیا دنباله ی اکیدا صعودی {an} ( اون n اندیسه) وجود دارد که به ازای هر k صحیح دنباله ی an + k دارای متناهی عدد اول باشد؟


(دوستان خواهشا سوال بذارید خیلی اینجا سوت و کوره)

دنباله an=(n!)^3 رو در نظر بگيريد. هرگاه n از قدر مطلق k بيشتر باشد an بر |k| بخش پذير است. پس اگر k برابر صفر و مثبت منفي يك نباشد، حكم بديهي است.
اگر k=0 نيز حكم بديهي است و اگر k برابر مثبت منفي يك باشد از اتحاد چاق و لاغر استفاده كنيد.
سوال بعدي : فرض كنيد منظور از p(x) بزرگترين عامل اول x^2+1 باشد. ثابت كنيد بينهايت a,b,c طبيعي متمايز يافت ميشوند كه p(a)=p(b)=p(c).

 

[javadss]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

دنباله an=(n!)^3 رو در نظر بگيريد. هرگاه n از قدر مطلق k بيشتر باشد an بر |k| بخش پذير است. پس اگر k برابر صفر و مثبت منفي يك نباشد، حكم بديهي است.
اگر k=0 نيز حكم بديهي است و اگر k برابر مثبت منفي يك باشد از اتحاد چاق و لاغر استفاده كنيد.
سوال بعدي : فرض كنيد منظور از p(x) بزرگترين عامل اول x^2+1 باشد. ثابت كنيد بينهايت a,b,c طبيعي متمايز يافت ميشوند كه p(a)=p(b)=p(c).

اگر میشه قسمتی از حل رو به عنوان راهنمایی قرار بدید
موفق به حلش نشدم!

 

[Fliqpy]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

ثابت كنيد بي نهايت p اول وجود دارد كه x يافت ميشود كه x>p و p(x)=p