المپیاد سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

[کاربر حذف شده 8031]

تو این تاپیک قراره که سوالای نظریه اعداد در سطح مرحله دوّم بررسی بشن.لزومی نداره که حتماً برای مرحله دوّم های قبل باشن. منظور سطح سوالا هست . پس اگه یه وخ احساس کردید که سوال نظریه اعدادی تقریبا مرحله اوّلی دارید نباید اینجا مطرح بشه باید تو تاپیک های دیگه مطرح بشن.
ضمناًقابل توجه هست که باید از این بعد تو این سری تاپیک های جدید بغل هر سوالی که مطرح میکنید شماره ی مربوط به اون رو بنویسید تا دیگه سوالا گم نشن و...![nb]یعنی اولین سوال این تاپیک شمارش میشه یک و به همون طور بقیه سوالا.[/nb]
پس از این به بعد سر هر سوالی که بحث میشه لطف کنید که شماره ی سوال مورد نظرتون رو هم ذکر کنید.

 

[shadow shaman]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

1)اگر X و Y دو عدد طبیعی باشند به نحوی که 3X2+ X = 4Y2 + Y ثابت کنید که X-Y مربع کامل است .

 

[کاربر حذف شده 8031]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

به راحتی از حکم میشه فهمید :

حالا میایم این دو تا بالایی رو تو هم ضرب میکنیم .

و چون 2(xy) و 2(x-y) مربع کاملند . اون عبارت های اولیه با هم مریبع کامل اند .
و به راحتی میتوان ثابت کرد :

پس 1+ 4(x+y) و 1+ 3(x+y) هر کدام به تنهایی مربع کاملند .
حال با توجه به رابطه بالا و دو رابطه اول و لم اقلیدس بدست میاد که x-y مربع کامل است .

 

[S.M.P]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

نشان دهید بی نهایت n طبیعی، وجود داردکه بزرگترین عامل اول 4 بزرگتر از 2n باشد.
1+ n

 

[S.M.P]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

- تمام n های صحیح را بیابید که عبارت n n n مربع کامل باشد.
2 + 3 + 6

 

[S.M.P]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

- تمام P های اول را بیابید که 2 مکعب کامل باشد.
1+ P - P

 

[S.M.P]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

- ثابت کنید تعداد جواب های معادله زیر در مجموعه اعداد طبیعی نامتناهی است: 3 5 7
z = y + x

 

[N_MATHS]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم
فرض کنید n عددی طبیعی و

عددی اول باشد.ثابت کنید به ازای عدد صحیحی مانند k ،

 

[Fliqpy]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

نشان دهید بی نهایت n طبیعی، وجود داردکه بزرگترین عامل اول 4 بزرگتر از 2n باشد.
1+ n

p|n^4+1
پس
p|n^8-1
یعنی مرتبه n در مبنای p برابر 8 هست(چون 8 رو عاد میکنه 4 رو عاد نمیکنه)
ثابت میکنیم به ازای نامتناهی p هر کدام یک n وجود داره که p/2>n و مرتبه n در مبنای p برابر 8 هست پس چون تعداد اعداد اول نامتناهیه تعداد عوامل n^4+1 متناهی حکم مساله درسته
اگر مرتبه n برابر هشت باشه مرتبه p-n هم برابر 8 هست چون n^2=(p-n)^2 به پیمانه p پس اگر p<2n یعنی p/2<n آنگاه p/2>p-n
پس حکم درسته اگر n وجود داشته باشه که مرتبش 8 باشه که طبق ریشه اولیه شرط لازم و کافیش بخش پذیری p-1 بر 8 هست و چون بی نهایت عدد اول به فرم 8k+1 هست حکم درسته.

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم
فرض کنید n عددی طبیعی و

عددی اول باشد.ثابت کنید به ازای عدد صحیحی مانند k ،

راهنمایی واسه سوال شما:
میدونیم که k و t وجود دارن که

حالا ثابت کنید عدد اولی مثل p وجود داره که

و

 

[N_MATHS]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

راهنمایی واسه سوال شما:
میدونیم که k و t وجود دارن که

حالا ثابت کنید عدد اولی مثل p وجود داره که

و

خب اینو خودم میدونم که باید ثابت کنیم ،ولی طریق اثباتشو نمیدونم.

 

[Fliqpy]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

فرض کن

پس

 

[Fliqpy]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

7) فرض کنید P مجموعه تمام اعداد اول باشد.هم چنین فرض کنید M زیر مجموعه ای از آن باشد به طوری که به ازای هر زیر مجموعه ناتهی و متناهی از M مانند t تمام عوامل اول

عضو M باشند. ثابت کنید P=M

 

[N_MATHS]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

سوال 9)تمام n هایی را بیابید که در شرط زیر صدق کند:

 

[ehsan-mokhtarian]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

7) فرض کنید P مجموعه تمام اعداد اول باشد.هم چنین فرض کنید M زیر مجموعه ای از آن باشد به طوری که به ازای هر زیر مجموعه ناتهی و متناهی از M مانند t تمام عوامل اول

عضو M باشند. ثابت کنید P=M

اول راحت اثبات می شه که تعداد اعضای M نا متناهی هست. با برهان خلف فرض کنید که p در m نیست. حالا t را شامل p-1 عدد در نظر می گیریم که به پیمانه ی p یکسان هستند . حالا طبق فرما p اون عبارت رو عاد می کنه پس p در M هست که تناقضه ...

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

سوال 9)تمام n هایی را بیابید که در شرط زیر صدق کند

به غیر حالت های خاص توان 2 در

بیشتر از توان 2 توی n می شه. حالت های خاصی که باید این جا بررسی کنیم اینا هستن:
1)

2)

3)

که

بررسی حالت های 1 و 2 راحته و فک کنم به 3وn=2 برسه. حالت 3 رو هم با توجه به این که

بدیهی می شه ...

 

[Phanntom]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

اعداد طبیعی a,b چنان هستند که اعداد 15a+16b و 16a+15b هر دو مربع کامل هستند. کمترین مقداری که مینیمم این دو مربع کامل میتواند بگیری چند است؟

ویرایش : بله بله درسته حرف شما

 

[fitmal]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

اعداد a,b چنان هستند که اعداد 15a+16b و 16a+15b هر دو مربع کامل هستند. کمترین مقداری که مینیمم این دو مربع کامل میتواند بگیری چند است؟

a,b صحیح اند ؟؟ اگر صحیح باشند ک خیلی ضایع میشه طبیعی اند؟

 

[ehsan-mokhtarian]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

اعداد طبیعی a,b چنان هستند که اعداد 15a+16b و 16a+15b هر دو مربع کامل هستند. کمترین مقداری که مینیمم این دو مربع کامل میتواند بگیری چند است؟

ویرایش : بله بله درسته حرف شما

فک کنم می خواستی این سوالو بگی که 15a+16bو 16a-15b مربع هستن. این سوال 4 IMO سال 1996 هست... برای حلش هم می تونید به mathlinks مراجعه کنید...

 

[Phanntom]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

فک کنم می خواستی این سوالو بگی که 15a+16bو 16a-15b مربع هستن. این سوال 4 IMO سال 1996 هست... برای حلش هم می تونید به mathlinks مراجعه کنید...

بله بله درسته
شما سوال می‌ذاری یا بذارم؟

 

[ehsan-mokhtarian]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

بله بله درسته
شما سوال می‌ذاری یا بذارم؟

بزار خودت الآن سواله خاصی ندارم...

 

[Phanntom]

پاسخ : سوالات نظریه اعداد هم سطح مرحله دوّم

صرفا یک معادله سیاله
a(a+1)(a+7)(a+8)=b^2
والا این سوالو خودمم حالیم نمیشه
ولی راه حلش خیلی قشنگه.

سوالای آسونتر تو سطح مرحله 1 تو تاپیک های مربوطه هستش.

چی شد پس؟؟؟؟؟؟