سوالات اصل لانه کبوتری

[کاربر حذف شده 8031]

نقاط صفحه را با دو رنگ رنگ امیزی کرده.ثابت کنید مثلث متساوی الاضلاعی به ضلع "یک" یا "رادیکال3" وجود دارد که هر سه راس ان همرنگ اند.
اقا من خودم جوابش رو نمی دونم اگه کسی تونست بگه که مارو از نادانی برهانه.

 

[a_mat_1995]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

راهنمایی1:دایره ای به شعاع 1 در صفحه را در نظر میگیریم

 

[tangent]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

راه حل بالاییو نمیدونم ولی 2تا 6 ضلعی در نظر بگیر به ضلع یک که اگه قطرا رسم شن تو دوتا مثلث به ضلع یک مشترکن.
حالا اگه رئوس و تو هرکدوم یکی در میون وصل کنی مثل به ضلع رادیکال 3 ه تولید میشه.
بشین نقضش کن.

 

[ماهان بابل]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

سلام بر دوست من.
راه حل اینه : یه نقطه قرمز پیدا کن به مرکزش و شعاع 1 یه دایره رسم کن. حالا اگه رو محیط این دایره هیچ نقطه قرمزی نباشه یعنی همه نقاط محیط آبی هستن،پس میشه یه مثلث متساوی الاضلاع که داخل این این دایره محاط هست پیدا کرد که ضلعش رادیکال 3 باشه(در واقع این مثلث منحصر به فرده و اثباتش با قشیه سینوس هاست.)پس اثبات رادیکال 3 تموم شد.
حلا برای 1:اون شش ضلعی رو به کار ببر.

 

[ماهان بابل]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

سلام
تو این لینک جوابش هست
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=41&t=464680

 

[کاربر حذف شده 8031]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

من دو تا سوال دیگه هم دارم:
1-اگر صفحه را با دو رنگ رنگ امیزی کنیم ثابت کنید یکی از رنگ ها تما فواصل را تولید می کند(یعنی مثلا رنگ قرمز دو سر پاره خط هی به طول تا n باشد)
2-اگر صفحه را با 3 رنگ رنگ امیزی کنیم ثابت کنید که دو نقطه ی همرنگ به طول d داریم.

لطف کنید این رو مثل بالایی گنگ توضیح ندید.شما ها یه جوری توضیح دادید که انگار هم بلدند.(من هنوز تو فهم سوال بالایی مشکل دارم.)

 

[Parham MLK]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

من دو تا سوال دیگه هم دارم:
1-اگر صفحه را با دو رنگ رنگ امیزی کنیم ثابت کنید یکی از رنگ ها تما فواصل را تولید می کند(یعنی مثلا رنگ قرمز دو سر پاره خط هی به طول تا n باشد)
2-اگر صفحه را با 3 رنگ رنگ امیزی کنیم ثابت کنید که دو نقطه ی همرنگ به طول d داریم.

1- برهان‌خلف میزنیم! فرض کنیم رنگ اول فاصله‌ای به اندازه‌ی a رو تولید نمیکنه و رنگ دوم فاصله‌ای به اندازه‌ی b رو. (میتونیم فرض کنیم a<b)
یه مثلث متساوی‌الساقین به طول ساق b و طول قاعده‌ی a رو در نظر میگیریم که راس متصل به دو ساق از رنگ دوم باشه.(واضحه که چنین مثلثی باید باشه... چون اگه نباشه تمام نقاط صفحه از رنگ اوّلن!)
خب، حالا اگه حداقل یکی از دو راس دیگه از رنگ دوم باشن، فاصله‌ای به طول b تولید شده که از رنگ دومه. اگر هم هر دو از رنگ اول باشن فاصله‌ای به طول a تولید شده که از رنگ اوله!

2- یه مثلث متساوی‌الاضلاع به طول ضلع d در نظر میگیریم...رنگ هر کدوم از رأسا باید متفاوت باشه! یه مثلث دیگه به همون اندازه رو در نظر میگیریم که یه ضلعش بر مثلث قبلی منطبقه!

واضحه که D باید با A همرنگ باشه!
حالا یه دایره به شعاع d.sqrt(3) و مرکز A میزنیم. تمام نقاط روی محیط دایره باید همرنگ با مرکز دایره باشه.
حالا یه وتر به اندازه‌ی d روی دایره جدا میکنیم!

نقاط صفحه را با دو رنگ رنگ امیزی کرده.ثابت کنید مثلث متساوی الاضلاعی به ضلع "یک" یا "رادیکال3" وجود دارد که هر سه راس ان همرنگ اند.
اقا من خودم جوابش رو نمی دونم اگه کسی تونست بگه که مارو از نادانی برهانه.

لطف کنید این رو مثل بالایی گنگ توضیح ندید.شما ها یه جوری توضیح دادید که انگار هم بلدند.(من هنوز تو فهم سوال بالایی مشکل دارم.)

لینکی که ماهان داد، جوابش کامل بود! کجاشو متوجه نشدی؟

 

[ماهان بابل]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

من یه راه دیگه واسه سوال یک دارم
در حقیقت همون راه پرهام هست.
فرض کن هر دو رنگ تعداد متناهی فاصله تولید کنه.پس یه فاصله ای مثل a هست که هیچ دورنگی اونا تولید نمیکنه. حالا اگه یه مثلث متساوی الاضلاع با طول ضلع a رسم کنی حداقل یکی از دو رنگ اونا تولید میکنه، پس فرض متناهی بودن اشتباه است و حداقل یکی از رنگ ها همه ی فواصل رو تولید میکنه

 

[rezaezio]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

من یه راه دیگه واسه سوال یک دارم
در حقیقت همون راه پرهام هست.
فرض کن هر دو رنگ تعداد متناهی فاصله تولید کنه.پس یه فاصله ای مثل a هست که هیچ دورنگی اونا تولید نمیکنه. حالا اگه یه مثلث متساوی الاضلاع با طول ضلع a رسم کنی حداقل یکی از دو رنگ اونا تولید میکنه، پس فرض متناهی بودن اشتباه است و حداقل یکی از رنگ ها همه ی فواصل رو تولید میکنه

فکر کنم یا من جواب شما رو متوجه نشدم یا شما سوال رو متوجه نشدید ، چون :

فرض می کنیم هر رنگ تعداد متناهی فاصله تولید کنه ، پس یه فاصله ای مثل a هست که قرمز ایجاد نمی کنه و یه فاصله b که آبی ایجاد نمی کنه.

ولی شما توی توضیحتون گفتید که : پس یه فاصله ای مثل a هست که هیچ دورنگی اونا تولید نمیکنه.

من دلیل اون جمله ی قرمز شما رو نفهمیدم. لطف کنید یکن بیشتر توضیح بدید راجع به اون دلیل.

 

[کاربر حذف شده 8031]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

لینکی که ماهان داد، جوابش کامل بود! کجاشو متوجه نشدی؟

تقریبا کلش اگه میشه یکی دیگه باز توضیح بده.
مثلا پرهام خیلی خوب توضیح داد کلا فهمیدم.

 

[Parham MLK]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

اِهِم!
چشم... توضیح میدم!

میدونیم دو نقطه به فاصله‌ی 1 داریم که از یک رنگ مثلاً آبی هستند(A,B). در نتیجه نقاط C و D باید قرمز باشن!

CD = DE = EC = sqrt3​

پس E باید آبی باشه... به طریق مشابه H هم باید آبی باشه!

حالا فقط مونده F , G...
اگه F آبی باشه، مثلث BEF هر سه رأسش آبی میشه!
پس F باید قرمز باشه!
حالا اگه G آبی باشه، مثلث AGH هر سه رأسش آبی میشه! اگر هم قرمز باشه، مثلث CFG هر سه رأسش قرمز میشه!

 

[ماهان بابل]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

باشه رضا
ببین مجموعه پاره خط ها با طول متفاوت رو که هر دو سرش قرمزه را تو مجموعه Aبذار. به طریق مشابه مجموعه B رو تعریف میکنیم. پس یه سری پاره خط ها هستند که فقط عضو A یا فقط عضو B یا عضو هر دو هستند.
در این صورت اگر C=A+B باشد آنگاه 'C مجموعه پاره خط هاییند که عضو هیچ کدوم نیستند. مثل پاره خط a.
متوجه شدی؟
آقا من وقتی کلید اسپیس رو فشار میدم پاک میکنه! چی کار کنم؟!

 

[informatic]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

1-اگر صفحه را با دو رنگ رنگ امیزی کنیم ثابت کنید یکی از رنگ ها تما فواصل را تولید می کند(یعنی مثلا رنگ قرمز دو سر پاره خط هی به طول تا n باشد)

خوب حالا همین سوال 1 رو درنظر بگیرید با این تفاوت که صفحه رو با 3 تا رنگ ، رنگ کردیم (یعنی ثابت کنید حداقل یکی از 3 تا رنگ ها ، تمام فاصله ها رو ایجاد میکنه)

پ.ن : این سوال نسبت به 2 تا رنگ سخت تره !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ???

 

[کاربر حذف شده 8031]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

اِهِم!
چشم... توضیح میدم!

میدونیم دو نقطه به فاصله‌ی 1 داریم که از یک رنگ مثلاً آبی هستند(A,B). در نتیجه نقاط C و D باید قرمز باشن!

CD = DE = EC = sqrt3​

پس E باید آبی باشه... به طریق مشابه H هم باید آبی باشه!

حالا فقط مونده F , G...
اگه F آبی باشه، مثلث BEF هر سه رأسش آبی میشه!
پس F باید قرمز باشه!
حالا اگه G آبی باشه، مثلث AGH هر سه رأسش آبی میشه! اگر هم قرمز باشه، مثلث CFG هر سه رأسش قرمز میشه!

ببخشید فکر کنم یه اشتباه کوچولو کردید.
الان اضلاع مثلثAGH یک هستند درست ولی اضلاع مثلثCFG اندازش 2 هست . در حالی که باید رادیکال 3 میشد.
حالا اصلاح حرف شما اینه که باید همه ی رئوس رو به صورت یکتا مشخص شوند بجز راسH که باید ابی یا قرمز بشه. در اون صورت اضلاع مثلث AGH و CDHبه ترتیب یک و رادیکال سه میشه.

 

[Parham MLK]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

بله! حرفتون کاملاً درسته! CFG شرط مسئله رو برآورده نمیکنه!
اونجا گفته بود G باید آبی باشه و H هرچی باشه مسئله حلّه!
ولی من الان به یه مشکلی برخوردم!
اگه G قرمز باشه و H آبی... چه مشکلی پیش میاد؟

 

[rezaezio]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

اگه G قرمز باشه و H آبی... چه مشکلی پیش میاد؟

بله همین مشکل رو داره و به همین دلیل ، این راه حلش نیست :)
عباس ثروتی هم گفت غلطه

بعد گفت هفته ی بعد جوابش رو بگید

 

[کاربر حذف شده 8031]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

خواهشا بچه ها یکم تلاش کنن یه راه حلی بدن برای هفته بعدمون که باز کلاس المپیاد داریم این راه حل هایی که برای این 5 ضلعیه دادید مورد قبول واقع نشد به این دلیل

اگه G قرمز باشه و H آبی... چه مشکلی پیش میاد؟

 

[کاربر حذف شده 8031]

پاسخ سوال های اصل حجره(لانه کبوتری)

n-1 عدد صحیح داریم به طوری که مجموع اعداد هیچ زیر مجموعه ی نا تهی از ان مضرب n نیست ثابت کنید تمام اعدا د با هم مساویند.
=============================================
از مجموعه ی اعداد 1 تا 1982 حداقل چند عدد را باید حذف کنیم به طوری که در بین اعداد باقیمانده هیچکدام برابر حاصلضرب دیگری نمی باشد.
=============================================
اقا با ز هم جواب این سوالا رو نمی دونم اگه کسی می تونه کمکم کنه.

 

[کاربر حذف شده 8031]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

یعنی کسی نیست به سوال ما جواب بده؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

 

[a_mat_1995]

پاسخ : یه سوال خفن لانه کبوتری

سوال 1 غلطه:n=3و اون 2 عدد 1و4
فکر کنم باید ثابت کنیم باقی ماندشون بر n مساویه
سوال 2 هم منظورت از حاصل ضرب چیه؟
"به طوری که در بین اعداد باقیمانده هیچکدام برابر حاصلضرب دیگری نمی باشد."
-------------------------------------------------------------
بهتره برای این جور سوال به یکی از این دو تا بری:
http://mathlinks.ro/
http://www.irysc.com/forum/
بخش مخصوص سوالات ترکیبیات مث لینکس:
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewforum.php