المپیاد آرشیو سوالات از گذشته تا کنون

[RAGA]

پاسخ : آرشیو سوالات از گذشته تا کنون

ببخشید من اعضای مجموعه رو خودم انتخاب کردم.

 

[armita]

پاسخ : آرشیو سوالات از گذشته تا کنون

اين ١٠ عدد ١٠٢٤ تا زير مجموعه دارن، كه مجموع بزرگترين زير مجموعه ١٠١٥ است(١٠٦+١٠٥+١٠٤+...+٩٧)
چون تعداد زير مجموعه ها بيشتره پس طبق اصل لانه كبوتري ٢ زير مجموعه هستن كه مجموع اعضاشون برابره.اگر اين ٢ مجموعه عضو يكسان نداشته باشن حكم اثبات مي شه، اگر هم عضو يكسان داشته باشن اعضاي يكسان رو از هر دو مجموعه برمي داريم و باز حكم اثبات مي شه!

 

[احسان]

پاسخ : آرشیو سوالات از گذشته تا کنون

یه سوال دیگه:

فرض کنید 10 عدد طبیعی متمایز داریم و همگی این اعداد هم از 107 کوچک ترند! ثابت کنید می شه 2 زیر مجموعه ی مجزا از این اعداد رو انتخاب کرد به گونه ای که مجموع اعضای این دو زیر مجموعه برابر باشند!

(راهنمایی: به اصل لانه ی کبوتری ربط داره!!)

اين ١٠ عدد ١٠٢٤ تا زير مجموعه دارن، كه مجموع بزرگترين زير مجموعه ١٠١٥ است(١٠٦+١٠٥+١٠٤+...+٩٧)
چون تعداد زير مجموعه ها بيشتره پس طبق اصل لانه كبوتري ٢ زير مجموعه هستن كه مجموع اعضاشون برابره.اگر اين ٢ مجموعه عضو يكسان نداشته باشن حكم اثبات مي شه، اگر هم عضو يكسان داشته باشن اعضاي يكسان رو از هر دو مجموعه برمي داريم و باز حكم اثبات مي شه!

درسته!

پی. اس. چون چندین سوال حل نشده مونده، هر سوالی رو که خواستید جواب بدید، بگید جواب کدوم سواله!! (برای سوال های حل شده هم اگه ایده های دیگه ای دارید بگید!! )

 

[armita]

پاسخ : آرشیو سوالات از گذشته تا کنون

یک سوال جالب !
یک زندان با تعدادی زندادی وجود داره . زندانی ها چشمشون یا آبیه یا سبز و حداقل هم یک زندانی با چشم آبی و یک زندانی با چشم سبز داریم . هیچ کدوم از زندانی ها نمی دونن چشمشون چه رنگیه ولی رنگ چشم بقیه رو می بینند. یک روز پادشاه میاد می گه من هر روز میام می گم چشم آبی ها یا چشم سبز ها دستشون رو بگیرن بالا . اگر همه ی چشم آبی ها (یا سبز ها ) دستشون رو ببرن بالا و هیچ فردی هم از گروه دیگر دستشو نبره بالا هم آزاد می شن ولی حتی اگر یه نفر اشتباه دستشو ببره بالا همه اعدام می شن . البته اگر هیچ کدوم از زندانی ها دستشون رو نبرند بالا هیچ اتفاقی نمی افته . ثابت کنید بعد از چند روز همه آزاد می شن . (همه ی زندانی ها کاملا باهوشند و کار اشتباهی انجام نمی دن و اگر رنگ چشمشون رو بدونند حتما دستشون رو می برنند بالا . زندانی ها هم نمی تونن با هم حرف بزنند یا تو آیینه رنگ چشمشون رو ببینند و ... !)

 

[hshkhkh]

پاسخ : آرشیو سوالات از گذشته تا کنون

******ولی حتی اگر یه نفر اشتباه دستشو ببره بالا همه اعدام می شن .********
خوب این یعنی چی؟

 

[armita]

پاسخ : آرشیو سوالات از گذشته تا کنون

یعنی اگر پادشاه گفته چشم آبی ها دستاتون رو بیارین بالا یک چشم سبز دستشو ببره بالا همه اعدام می شن.

 

[tiberium]

پاسخ : آرشیو سوالات از گذشته تا کنون

خب!!

یه راه بهتر پیدا کردم.اون یکی غلط نیست ولی یکم پیچه!!

ولی تو این راه اینا زودتر آزاد میشن.!!

ببینید مثلا
اگر 2 نفر چشمشون آبی باشه.روز اول پادشاه میاد میگه چیم آبیا دستشون بالا.
هر کدوم از این دو نفر چشم اون یکی رو میبینه.و چون چشم اون یکی آبی هست پس دستشون رو بلند نمیکنن.چون نمیتونن با اطمینان رنگ چشم خودشون رو بگن
حالا فردا میشه.
و شاه دوباره این سوال رو می پرسه.حالا وقتی دفعه اول دستی بلند نشده چون هردوتاشون میبینن که چشم بقیه به جز خودشون سبز هست پس میفهمن چشم هردوتاشون باید آبی باشه.چون دفعه اول هردوتاشون دستشون رو نبردن بالا(که این یعنی دارن یه نفر رو میبینن که چشمش آبی هست)پس دستشون رو میبرن بالا

حالا فرض کنیم چشم 3 نفر آبی باشه.
مثلا چشم من و دو نفر دیگه!
روز اول شاه میاد میگه چشم آبیا دستشون بالا.
من میبینم که دو نفر دیگه چشمشون آبیه.از طرفی اونا هم میبینن که دو نفر چشمشون آبیه پس کسی دست بلند نمیکنه
حالا روز بعد شاه میاد میگه چشم آبیا دستشون بالا
خب:!
حال من میتونم اینطوری استدلال کنم.اگر چشم من سبز باشه پس تو دفعه دوم اون دو نفر هردوتاشون میفهمن که چشماشون آبیه.و دستشون رو بلند می کنن.
اما وقتی دستشون رو بلند نمیکنن یعنی چشم من حتما آبیه.
حالا هر سه تاییشون این استدلال رو می کنن دیگه نه؟
پس روز دوم هم کسی دستش رو بلند نمیکنه.

و فردا که شاه بیاد اینو بپرسه هر سه تایی دست بلند می کنیم چون با این استدلال بالا فهمیدیم که چشممون آبیه.

حالا اگر چهار نفر چشممون آبی باشه.
مثلا من و سه نفر دیگه.
روز اول شاه میاد میگه چشم آبیا دستشون بالا ولی کسی دست بلند نمیکنه(بدیهیه!)
روز دوم هم میاد میگه چشم آبیا دستشون بالا بازم کسی دست بلند نمی کنه.(اینم بدیهیه)
حالا:روز سوم پادشاه میاد میگه چشم آبیا دستشون بالا
اگر فرض کنم چشمم سبز باشه پس تو روز سوم هر سه تای اونا میفهمن چشاشون آبیه.چون تو چند خط بالا توضیح دادیم چطوری
و دستشون رو بلند می کنن.
ولی وقتی دستشون رو بلند نمی کنن یعنی چشم من حتما آبیه
حالا هر چهاتاشون هم زمان این استدلال رو می کنن دیگه..پس روز چهارم که شاه اینو بگه هر چهار تاییشون دستشون رو بلند می کنن.

اینو تعمیمش میدیم.و با این وضع مساله حل میشه.

 

[tiberium]

پاسخ : آرشیو سوالات از گذشته تا کنون

الان مثلا فرضا دو نفر a و b چشماشون آبیه
شاه روز اول میگه چشم آبیا دستشون بالا
نفر a میبینه که چشم b آبیه.
و b هم میبینه که چشم a آبیه.
و هردوتاشون هم میبینن که چشم مابقی سبز هست

حالا مثلا چون نفر a میبینه که چشم b آبیه پس نمیتونه بفهمه چشمش چه رنگیه.
و نفر b هم همچنین.یعنی نمیفهمه چشمش چه رنگیه.
و روز اول کسی دست بلند نمی کنه.
حالا فرداش که شاه دوباره میگه چشم آبیا دستشون بالا نفر a اینطوری استدلال می کنه.
میگه رنگ چشم بقیه زندانیا به جز b همه سبزه.
اگر چشم منم سبز بود b میفهمید که چشمش باید آبی باشه.ولی وقتی دست بلند نکرده یعنی نفهمیه
پس چشم من حتما آبیه.
b هم همین استدلال رو می کنه.پس روز دوم هر دو دستشون رو میبرن بالا.

 

[tiberium]

پاسخ : آرشیو سوالات از گذشته تا کنون

حالا فرض کنیم سه نفر چشماشون آبیه
a
b
c

خب روز اول شاه میاد میگه چشم آبیا دستشون بالا
a میبینه چشم دو نفر (b,c) آبیه.پس نمیفهمه چشم خودش چه رنگیه
b هم همینطور
c هم همینطور

پس روز اول دستی بلند نمیشه

حالا روز دوم میشه.
شاه دوباره میپرسه چشم آبیا دستشون بالا

حالا:
فرضا من نفر a هستم.
من میدونم b و c چشمشون آبیه.
اگر چشم من سبز بود پس وقتی امروز شاه میگه دست چشم آبیا بالا پس اینا میفهمیدن که چشمشون آبیه و دستشون رو میبردن بالا.
من وقتی دوباره کسی دستش رو نمیبره بالا یعنی حتما چشم من آبیه.
چون در غیر این صورت(یعنی اگر چشم من سبز بود) این دو نفر تو روز دوم(یعنی امروز) دستشون رو میبردن بالا.
حالا که نبردن یعنی چشمم آبیه.

هر سه نفر همزمان این استدلال رو می کنن.
پس فرداش یعنی روز سوم که پادشاه بگه چشم آبیا دستشون بالا هر سه تا دستشون رو بلند می کنن

 

[tiberium]

پاسخ : آرشیو سوالات از گذشته تا کنون

حالا چهار نفر رو هم بگیم بعد دیگه خودتون تعمیم بدید!!!
a
b
c
d
چشماشون آبیه.
روز اول که شاه میگه چشم آبیا دستشون بالا کسی دست بلند نمیکنه چون میبینه چشم سه نفر دیگه آبیه.
روز دوم هم کسی دست بلند نمیکنه.
روز سوم هم همچنین

حالا فرض می کنم من a هستم
با خودم اینطوری استدلال می کنم
اگر فقط چشم های b c d آبی باشه
با توضیحات قبل! اینا تو روز سوم متوجه میشن و دستشون رو میبرن بالا.!! حالا چون دستشون رو نبردن بالا پس چشم من حتما آبیه.

هرکدوم این استدلال رو می کنن.

پس روز چهارم که پادشاه بگه چشم آبیا دستشون بالا ما چهار تا دستمون رو بلند می کنیم