سوالات ریاضی

[پارسا نوروزی]

پاسخ : سوالات ریاضی

کاملا درست بود
مسئله حل شد
واقعا ممنونم آقا بهراد

 

[(:TABASSOM:)]

پاسخ : سوالات ریاضی

از تساوی های زیر x را حذف کنید .
sin^3 x+cos ^3 x=p
خب الان دقیقا باید چی کار کنم؟

 

[گل نمک]

پاسخ : سوالات ریاضی

چرا اسم تو.....است؟
خوب معلومه دیگه ایناهمش طبق قرداده....

 

[ashitaka]

پاسخ : سوالات ریاضی

این دستگاه دو مجهولی رو چه شکلی حل کنم ؟ :
sin(a+b)=c/d
sin(e+b)=f/d

که a , e , c,f معلومند و d ,b مجهول .

 

[behradv]

پاسخ : سوالات ریاضی

شاید راه های ساده تری هم باشه، ولی اینی که به ذهن می رسه الان اینه:

می تونیم از sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) .1 استفاده کنیم. بعدش، کسینوس رو هم بر حسب سینوس می نویسیم، چون sin^2(b) + cos^2(b) = 1. بعدش معادله اول می شه بر حسب مجهول های sin(b) , d .
معادله دوم رو هم همینطوری تبدیل می کنیم به معاده ای از sin(b) , d، چون وقتی a و e معلوم باشن، سینوس و کسینوسشون هم معلومه دیگه. c و f هم که معلومن.

نتیجه می شه دوتا معادله با مجهول های sin(b) , d ، که احتمالا به سادگی حل می شه و آخرش فقط یه ArcSin هم می گیریم و تموم می شه ایشالا!

 

[پارسا نوروزی]

پاسخ : سوالات ریاضی

سلام
معادله a^x=b رو چطور میشه حل کرد؟ (a و b معلوم هستن)

 

[behradv]

پاسخ : سوالات ریاضی

سلام،

از دو طرف یه لگاریتم طبیعی می گیریم (ln)، که همون لگاریتم به منبای عدد اویلر (e) هستش.
میشه ln(a^x) = ln(b) .1 .
با استفاده از اتحاد لگاریتمی، لگاریتم طبیعی a^x می شه x ضربدر لگاریتم طبیعی a.
اینجوری:

ln(a^x) = ln(b) = x.ln(a) .2

دو تا عدد a و b هم که معلومن و لگاریتم طبیعی شونم معلومه :).

 

[پارسا نوروزی]

پاسخ : سوالات ریاضی

حالا اگه باشه x=a^x چی کار باید بکنیم؟!! :-[

 

[behradv]

پاسخ : سوالات ریاضی

هوووووم !

این رو راستش نمی دونم! فکر نکنم به این سادگیا باشه. روش قبلی که دیگه جواب نمی ده، روش دیگه ای هم به ذهنم نمی رسه.
ولی، از اونجایی که آدم وقتی کم میاره به تکنولوژی و اینا رو میاره (!)، رفتم و سعی کردم با استفاده از برنامه MATLAB حلش کنم.
البته فکر کنم MATLAB خودش بتونه چنین معادله ای رو حل کنه، ولی من فعلا کدش یادم نیست، واسه همین فقط نمودارشون رو کشیدم و یه این نتیجه رسیدم که اصلا جواب داشتن یا نداشتن معادله به خود a ربط داره.

این کدشه، برای a = 0.5:

a = 0.5; % Motaghayyere a ro ta'rif mikonim
X = linspace(-2,2,1000) % X ro az -2 to 2, 1000 ghesmat mikonim
Y1 = X; % Khatte y = x
Y2 = a.^X; % Monhaniye y = a^x
plot(X,Y1,X,Y2) % Har do ro rasm mikonim!
title('Baraye a = 0.5'); % Onvan
xlabel('x'); % Mehvare x
ylabel('y'); % Mehvare y
legend('y = x', 'y = a^x'); % Rahnema
​

دو تا خط با معاده های y = x و y = a^x رو رسم می کنیم، و نگاه می کنیم ببینیم هم دیگه رو اصلا قطع می کنن یا نه.

اینا هم نتیجه ش:

وقتی a = 2 اصلا جواب نداره:

وقتی a = 0.5 جواب داره:

... بازم احتمالا بشه حلش کرد، و تو گوگل هم گشتم یه چیزایی پیدا کردم بر حسب لگاریتم طبیعی، ولی W و اینا داشت که سر درنیاوردم!
بازم شاید بقیه بچه ها بلد باشن :)

شرمنده، بیشتر از این فعلا چیزی به ذهنم نمی رسه...

 

[پارسا نوروزی]

پاسخ : سوالات ریاضی

ممنون
روش خیلی جالبیه
زحمت کشیدین...

 

[ashitaka]

پاسخ : سوالات ریاضی

این دستگاه دو مجهولی رو چه شکلی حل کنم ؟ :
sin(a+b)=c/d
sin(e+b)=f/d

که a , e , c,f معلومند و d ,b مجهول .

کسی را ساده تری به ذهنش نمی رسه !؟

 

[seulfille]

پاسخ : سوالات ریاضی

شاید راه های ساده تری هم باشه، ولی اینی که به ذهن می رسه الان اینه:

می تونیم از sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) .1 استفاده کنیم. بعدش، کسینوس رو هم بر حسب سینوس می نویسیم، چون sin^2(b) + cos^2(b) = 1. بعدش معادله اول می شه بر حسب مجهول های sin(b) , d .
معادله دوم رو هم همینطوری تبدیل می کنیم به معاده ای از sin(b) , d، چون وقتی a و e معلوم باشن، سینوس و کسینوسشون هم معلومه دیگه. c و f هم که معلومن.

نتیجه می شه دوتا معادله با مجهول های sin(b) , d ، که احتمالا به سادگی حل می شه و آخرش فقط یه ArcSin هم می گیریم و تموم می شه ایشالا!

فقط یه چیزی...مگه آخرش به این نمیرسه؟
sin a %1-sin^2 b+sin b cos a=c/d
sin e%1-sin^2 b+sin b cos e=f/d
*رادیکال رو نمیدونم کجاست واسه همین % گذاشتم
خب بعد این دستگاه رو بخواییم حل کنیم اونوقت هر کاری کنیم باز دو مجهول میمونه!اگه بیایم بالایی رو تو sin e- پایینی رو هم در sin a ضرب کنیم که این دو تا حذف شن اونوقت یه d مجهول و یه sin b مجهول داریم!من هرطوری حل کردم یا یک d با sin b یا d با رادیکال 1 منهای سینوس b به توان 2 میمونه
مشکل اینه که تو هر دوتا عبارت طرف اول sin b هست که نمیتونیم باهم دیگه جمعشون کنیم واسه همین هر کاری کنیم بازم یه 2 مجهولی میمونه واسمون!
.......................................................
یه راه حلی که به ذهنم رسید که یحتمل جواب میده اینه که بیایم بگیم (sin(a+b بر روی (sin(e+b میشه c بر روی f اونوقت بعد از طرفین وسطین داریم
(c sin(e+b)=f sin(a+b
بعد میایم مینویسیم
(f sin(a+b) =f sin(a)cos(b) +f sin(b)cos(a
و

(c sin(e+b) =c sin(e)cos(b) +c sin(b)cos(e
خب حالا اگه این دو تا رو مساوی قرار بدیم و cos bرو بنویسیم%1-sin^2 b فکر کنم مسئله حل بشه...
* % همون رادیکاله...

 

[ashitaka]

پاسخ : سوالات ریاضی


یه راه حلی که به ذهنم رسید که یحتمل جواب میده اینه که بیایم بگیم (sin(a+b بر روی (sin(e+b میشه c بر روی f اونوقت بعد از طرفین وسطین داریم
(c sin(e+b)=f sin(a+b
بعد میایم مینویسیم
(f sin(a+b) =f sin(a)cos(b) +f sin(b)cos(a
و

(c sin(e+b) =c sin(e)cos(b) +c sin(b)cos(e
خب حالا اگه این دو تا رو مساوی قرار بدیم و cos bرو بنویسیم%1-sin^2 b فکر کنم مسئله حل بشه...
* % همون رادیکاله...
[/quote]

عالی بود . ممنون !

 

[behradv]

پاسخ : سوالات ریاضی

فقط یه چیزی...مگه آخرش به این نمیرسه؟
sin a %1-sin^2 b+sin b cos a=c/d
sin e%1-sin^2 b+sin b cos e=f/d
*رادیکال رو نمیدونم کجاست واسه همین % گذاشتم
خب بعد این دستگاه رو بخواییم حل کنیم اونوقت هر کاری کنیم باز دو مجهول میمونه!اگه بیایم بالایی رو تو sin e- پایینی رو هم در sin a ضرب کنیم که این دو تا حذف شن اونوقت یه d مجهول و یه sin b مجهول داریم!من هرطوری حل کردم یا یک d با sin b یا d با رادیکال 1 منهای سینوس b به توان 2 میمونه
مشکل اینه که تو هر دوتا عبارت طرف اول sin b هست که نمیتونیم باهم دیگه جمعشون کنیم واسه همین هر کاری کنیم بازم یه 2 مجهولی میمونه واسمون!

درسته، ولی یه کار دیگه هم که میشه با این دو تا معادله کرد اینه که سعی کنیم به جای حذف sinb، اون یکی مجهول که d هست رو حذف کنیم. به خاطر همین به جای این که از sine- و sina به معنوان مضرب ها استفاده کنیم، بالایی رو تو f، پایینی رو تو c- ضرب می کنیم. وقتی دو تا عبارت رو با هم جمع کنیم d حذف می شه، و اینجوری می شه:
fsin a (%1-sin^2 b) + fsin b cos a - csin e(%1-sin^2 b) - csin b cos e =0
که نتیجه می شه همین این:

(f sin(a+b) =f sin(a)cos(b) +f sin(b)cos(a
و
(c sin(e+b) =c sin(e)cos(b) +c sin(b)cos(e
خب حالا اگه این دو تا رو مساوی قرار بدیم و cos bرو بنویسیم%1-sin^2 b فکر کنم مسئله حل بشه...
* % همون رادیکاله...

لبته نمی دونم این که تو اون دستگاه اولی به جای حذف sinb از سمت چپ، d رو از سمت راست حذف کردیم استانداره یا نه ...! شاید نباشه.

 

[seulfille]

پاسخ : سوالات ریاضی

لبته نمی دونم این که تو اون دستگاه اولی به جای حذف sinb از سمت چپ، d رو از سمت راست حذف کردیم استانداره یا نه ...! شاید نباشه.

حذف dاستاندارده به نظرم چون تو دستگاه هدف اینه که یکی از مجهولهامون حذف بشه حالا چه مجهول طرف اول باشه چه مجهول طرف دوم...

 

[Ehsan.T]

پاسخ : سوالات ریاضی

کسی را ساده تری به ذهنش نمی رسه !؟

به نظر من اول از دو طرف عبارت ها یه Arc میگیریم و بعد دو تا رابطه ی به دست اومده رو از هم کم میکنیم . مجهول b حذف میشه . حالا از دو طرف رابطه ی جدید که b رو دیگه نداره sin میگیریم و خلاصه d پیدا میشه . بعدشم b . البته فکر کنم اخر همه ی این راه حل ها به یجا ختم میشه .

 

[ashitaka]

پاسخ : سوالات ریاضی

سوال ) دوستان ممنون می شم هر چه زود تر روی این سوال فکر کنید و اگه ایده ای برای حلش به ذهنتون اومد من رو در جریان بزارید :

دایره ای داریم به شعاع r . آنرا به ضریب k که K<1 در جهت محور y فشرده می کنیم ( یعنی بیضی به دست می آید که طول شعاع بزرگ r و شعاع کوچم kr است . ) حال بیضی حاصل را به اندازه زاویه a می چرخانیم .
روی دایره اولیه کمان AB =90 را انتخاب می کنیم . از A ,B بر قطر بزرگ بیضی عمودی رسم می کنیم و به ترتیب محل برخورد عمود ها با محیط بیضی را C ,D می نامیم . اگر مختصات C , D را بدانیم در حالی که مرکز دایره اصلی مبدا مختصات است و مقدار r را می دانیم . چگونه می توانیم k , a را پیدا کنیم ؟!

 

[behradv]

پاسخ : سوالات ریاضی

خوب، نمی دونم این به جایی می رسه یا نه، ولی دیگه فکرم بیشتر از این کفاف نمی ده...!

اول از همه در نظر داشته باشیم که معادله بیضی می شه 1. x^2 + (ky)^2 = r^2، البته وقتی قطراش روی محور مختصاته یعنی قبل از چرخوندنش).
حالا می خوایم معادله بیضی جدید رو، بعد از چرخوندن به دست بیاریم. هر نقطه ای که روی بیضی اول در نظر بگیریم، بعد از چرخش هم با مختصات جدیدش روی بیضی جدید هم هست، ولی با مختصات جدید 'x و 'y. از اونجایی که معادله ی اول بر حسب x و y هست، لازمه این 'x و 'y رو هم بر حسب یه عباراتی از x و y بنویسیم.

اول 'x و یه نقطه در نظر میگیریم روی بیضی اول، به فاصله ی s از مرکز مختصات، و به زاویه b از محور x. قبل از چرخش بیضی، مولفه x نقطه هه میشه x = s.cos(b) .2. بعد از چرخش با زاویه a، زاویه ی همون نقطه از محور عوض می شه و می شه a+b، پس مولفه 'x نقطه هه میشه x' = s.cos(a+b) .3. در واقع، با استفاده از نسبت این دو تا، می تونیم بنویسیم x' = x.(cos(a+b)/cos(b)) .4. بعد صورت این عبارت کسینوسی رو با استفاده از همون اتحاد مثلثاتیه باز می کنیم، می شه x' = x.(cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)/cosb) .5 .
از این جا به بعدش دیگه داغون می شه، در حدی که باعث می شه به این نتیجه برسم که راه حل درست این نیست! اینجوریه که می خوایم عبارت 5 رو ساده تر کنیم و مجهولا رو از بین ببرین. cosb و sinb به ترتیب می شن x/s و y/s. با فیثاغورث هم که s میشه رادیکال x^2 + y^2 . پس cosb و sinb رو می تونیم بر حسب فقط x و y بنویسیم. ولی هنوز این هم کافی نیست، چون تو رابطه مون برای x و 'x نمی خوایم y داشته باشیم. پس با استفاده از رابطه ی 1 برای بیضی، y رو هم بر حسب x می نویسیم! نتیجه می شه که cosb و sinb فقط بر حسب x نوشته می شن، و اونا رو می ذاریم سر جاشون تو عبارت 5. کل عباری می شه 'x بر حسب یه عبارت خیلی زشت از x!

یه کم نفس نفس می زنیم، یه نفس عمیق می کشیم، بعد همین کار رو برای y و 'y هم تکرار می کنیم! بعد یه کم گریه می کنیم و ادامه می دیم...!

حالا در واقع عبارتی رو که مولفه هر نقطه روی بیضی دوم رو بر حسب مولفه های همون نقطه قبل از چرخش به دست آوردیم. حالا این به چه دردی می خوره؟! خوب شاید بشه ازش استفاده کرد برای این که معادله بیضی دوم رو بنویسیم. اینطوری که عبارات به دست اومده رو یه کم جابجا می کنیم و اینا، طوری که x بر حسب 'x و y بر حسب 'y باشه به جای برعکسش... بعدش این دو تا عبارت آخری رو جاگذاری میکنیم توی همون رابطه 1 که معادله بیضی جدید به دست بیاد... ( ! )

حالا که معادله بیضی رو بعد از چرخش داریم، بقیه ش نسبتا آسونه. دو تا معادله دیگه هم داریم، که معادله خطهای عمودیه که رسم می کنیم. برای اون خطها هم شیب رو که می دونیم، چون قطر اصلی بعد از چرخش معادله ش می شه y' = tan(a). x' .6 ، پس شیب خط عمود بهش می شه وارون و منفی tana. مختصات C و D رو هم که داریم، پس معادله اون دو تا خط عمود رو راحت با استفاده از اون شیب و مختصات این دو تا می نویسیم. ('x و 'y استفاده کردم، چون مختصاتمون برای بیضی جدیده).

معادله هر کدوم از اون خطها رو با معادله بیضی مساوی قرار می دیم و حل می کنیم، مختصات نقطه تقاطع باید بشه جوابشون، که ما داریم اون مختصات رو. پس دو تا دستگاه داریم، که جواب هر دو تا دستگاه رو می دونیم، ولی صورت معادله هاش بر حسب یه سری مجهوله. پس با حل کردن دو تا دستگاه، که توش معادله هاش a و k مجهولن، ولی 'x و 'y متعلق به جوابای معادله ها رو داریم، احتمالا به یه جوابی می رسیم دیگه...!
(ایشالا...! )


پ.ن. شاید یه خورده گمراه کننده باشه و اینا... احتمالا راه حل خیلی ساده تری داره که من بلد نیستم... اینم شاید اصلا جواب نده حتی :)

 

[ashitaka]

پاسخ : سوالات ریاضی

عالی بود ممنون . به نظرتون میشه از طریق زاویه بین oc و od و اندازه oc , od کاری کرد ؟! قطعا باید بشه !

 

[behradv]

پاسخ : سوالات ریاضی

خواهش می کنم، ولی بازم امید زیادی ندارم به اون راه حله...!

در مورد زاویه بین oc و od و اندازه oc و od هم راستش بعید می دونم خیلی به درد بخوره. البته خوبیش اینه که به ازای هر طول پاره خط خاص، فقط 4 تا نقطه روی بیضی با اون فاصله هست. یعنی اگه اون دو تا طول رو داشته باشیم و زاویه ی بینشون هم، می دونیم که جفت نقطه ها از دو حالت بیشتر نمی تونن باشن، و می تونیم پیدا کنیم که کدوم دو تا نقطه بعد از چرخش روی C و D منطبق می شن. ولی... ... حتی اگه اون رو بدونیم، دونستن موقعیت دقیق نقطه ها توی بیضی اول هم خیلی به درد بخور به نظر من نمیاد. یعنی فرض کنیم فاصله ها رو با زاویه پیدا کردیم. بعد از اون مقدارا استفاده کردیم که ببینیم کدوم جای این دو تا نقطه C و D توی بیضی اول کجاس... ولی بعدش چی؟ قضیه سینوس ها و کسینوس ها هم باز بعید می دونم به درد بخوره، چون همه اونا فقط در مورد مثلث OCD اطلاعات می دن، نه بیشتر (حداقل تا جایی که من به ذهنم می رسه...)

ولی دو تا مورد دیگه هم به ذهنم رسید که شاید با استفاده ازشون یه راه حل ساده تر بشه پیدا کرد:

1) زاویه ی چرخش، a، در واقع وارون تانژانت نسبت دو تا پاره خط عموده (یعنی نسبت فاصله A و B از مرکز). علتش هم اینه که دو تا مثلث قائم الزاویه که درست شده ن متساوی ان (به خاطر زاویه های برابر متشابه ن، و به خاطر وتر برابر با r، متساوی ن). در نتیجه نسبت این دو تا فاصله در واقع نسبت دو تا ضلع قائمه ی یکی از اون دو تا مثلا قائم الزاویه ی برابره، که می شه تانژانت زاویه ی a.

2) سوال نگفته کمان 90 درجه AB دقیقا کجاس. فقط گفته 90 درجه س. حالا اگه A و B رو روی محور مختصات در نظر نگیریم و به جاش، روی انتهای قطر بزرگ و کوچیک در نظر بگیریم چی؟ یعنی مثلا همزمان با چرخش بیضی، A و B رو هم همون اندازه بچرنیم، طوریکه OB بشه نصف قطر بزرگ، و OA بشه نصف قطر کوچیک. نکته جالبی که از این کار نتیجه می شه اینه که عمود وارد از A بر قطر اصلی از مرکز مختصات، O رد می شه. خود B هم که روی قطر اصلیه، پس پای عمود وارد ازش می شه خود B. در نتیجه نقطه ی C می شه یه سر قطر کوچیک، و نقطه ی D می شه همون B. با گرفتن نسبت y به x مختصات D و گرفتن وارون تانژانت، زاویه a به دست میاد. اندازه ی پاره خط OC هم می شه طول شعاع کوچیک، چون C روی سر شعاع کوچیکه، پس k هم به دست می آد.
فقط مشکل اینه که نمی تونیم A و B رو هر جور دلمون خواست بگیریم. ممکنه شانس بیاریم و A و B جوری باشن که اتفاقای بالا بیفته، و چیزی که به عنوان فرض مساله به ما داده مختصات C و D هست...