المپیاد سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

[eyekay]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)


[tex](x^2 +y^2)(9+16)>=(3x+4y)^2[/tex]
[tex](3x+4y)<=5[/tex]
کافیه معادله ای که نابرابری کوشی بهت میده رو حل کنی تا حالت تساوی هم به دست بیاد

 

[Nimbus]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

اگه به من فیزیکی این سوال رو میدادن با ضرایب لاگرانژ حلش میکردم.

 

[eyekay]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

مشتق گیری و این حرف ها؟یه چیزایی میدونم،ولی خب زیاد به درد نمی خوره بلد نیستمشون،چون اگه متغیر بشه 3 تا ،عبارت ام پیچیده بشه دیگه استفاده از اینا یکم سخت میشه،برای یه المپیاد ریاضیی خوبه که عادت کنه اینطوری حل کنه

 

[Nimbus]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

مشتق گیری و این حرف ها؟یه چیزایی میدونم،ولی خب زیاد به درد نمی خوره بلد نیستمشون،چون اگه متغیر بشه 3 تا ،عبارت ام پیچیده بشه دیگه استفاده از اینا یکم سخت میشه،برای یه المپیاد ریاضیی خوبه که عادت کنه اینطوری حل کنه

آره از مشتق استفاده میکنه ولی خیلی سادست. میگه تابع f(x1,x2,x3,...,xn)*1 که یک رو برای حفظ ظاهر نوشتم ! تحت قید g(x1,x2,x3,...,xn)=0 دارای مقدار اکسترمم هست به گونه ای که x1 و x2 و .... در رابطه زیر صدق کنه :

که لاندا ضریب لاگرانژه.
به عبارت دیگه :

که مشتق ها رو معمولی نوشتم (گیر ندید )

 

[eyekay]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

اینا تو ریاضی ام هست،ولی جایی که آدم شدیدا گیر بیوفته،هیچ ایده ای ام نداشته باشه،یه 2 ساعت تر و تمیز ام وقت مونده باشه،چون معادلاتمون همیشه انقدر تمیز در نمیاد،


یه راه حل بامزه به ذهنم رسید،

x^2 + y^2=1 جای x , y می تونیم سینوس و کسینوس یه زاویه رو قرار بدیم مثل a پس باید حداکثر 3sina + 4cosa رو به دست بیاریم،حالا عبارت رو تقسیم بر 5 کنید،باید ماکسیموم اینو به دست بیاریم 3/5sina+4/5cosa
حالا توجه کنید که جمع مربعات سه پنجم و چهار پنجم یکه،حالا می تونیم جای اینا قرار بدیم cosb , sinb
حالا :3/5sina +4/5cosa=siacosb+cosasinb=sin(a+b) s
که سینوس همواره کوچکتر از یکه،با ارکسینوس و ارککسینوس حالت تساوی

 

[adventurous]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

سلام
یه سوال :اگه دو تا نیمساز از یک مثلث با هم برابر باشند با استفاده از قضیه استوارت چه جوری می شه ثابت کرد که مثلث متساوی الساقین است؟
ممنون میشم اگه یه نفر اینو حلش کنه.

 

[سیاوش]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

سلام
حتما باید با قضیه استوارت باشه ؟
من یه اثبات ساده ازش میگم .
اولا این سواله معروفه به قضیه اشتینر -لموس
سرگذشت جالبی داره تو گوگل سرچ کنید
صورت قضیه : در مثلث ABC نیمساز زاویه ی داخلی B با ضلع AC در D برخورد میکند و نیمساز زاویه ی داخلی C ضلع AB را در E قطع میکند.
هرگاه BD=CE باشد ثابت کنید مثلث ABC ساقین است.
اثبات :
برهان خلف فرض کنیم مثلث ساقین نباشه پس زاویه ی B مخالف زاویه ی C هستش.
فرض کنیم B>C باشد در این صورت داریم:
B/2 >C/2
EF را موازی و مساوی BD رسم کرده و از F به C وبه D وصل میکنیم.
در متواضی الاضلاع BEFD داریم BE=DF و B/2=EFD
در مثلث ساقین ECF داریم :
EFD+DFC=ECD+DCE
از طرفی B/2>C/2 و B/2=EFD
پس نتیجه میشود که : DFC<DCF که نتیجه میدهد : CD<DF در نتیجه CD<BE
حالا از قضیه ی لولا استفاده میکنیم :
در 2 مثلث BCD و BCE ضلع BC مشترک است و CD<BE پس B/2<C/2
که خلاف فرض است پس با فرض BD=CE زاویه B نمیتونه از C بزرگتر باشه به طور مشابه C نیز از B نمیتونه بزرگتر باشه .
پس این 2 زاویه برابرند و مثلث ساقین است.
حکم اثبات شد :)

 

[adventurous]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

خیلی ممنون.فقط اگه اثباتش رو با استوارت پیدا کردین حتما بگین...

 

[berjis]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

آقا سيوش يك سوال تو خط 14 از كجا معلوم كه مثلث ECF متساوي الساقين باشه ؟

 

[سیاوش]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

آقا سيوش يك سوال تو خط 14 از كجا معلوم كه مثلث ECF متساوي الساقين باشه ؟

EF موازی و مساوی BD هست پس EF = BD
فرض مساله هم میگه EC=BD
در نتیجه EF=EC پس مثلث ECF ساقین هستش.