سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

[eyekay]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)


[tex](x^2 +y^2)(9+16)>=(3x+4y)^2[/tex]
[tex](3x+4y)<=5[/tex]
کافیه معادله ای که نابرابری کوشی بهت میده رو حل کنی تا حالت تساوی هم به دست بیاد

 

[Nimbus]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

اگه به من فیزیکی این سوال رو میدادن با ضرایب لاگرانژ حلش میکردم.

 

[eyekay]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

مشتق گیری و این حرف ها؟یه چیزایی میدونم،ولی خب زیاد به درد نمی خوره بلد نیستمشون،چون اگه متغیر بشه 3 تا ،عبارت ام پیچیده بشه دیگه استفاده از اینا یکم سخت میشه،برای یه المپیاد ریاضیی خوبه که عادت کنه اینطوری حل کنه

 

[Nimbus]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

مشتق گیری و این حرف ها؟یه چیزایی میدونم،ولی خب زیاد به درد نمی خوره بلد نیستمشون،چون اگه متغیر بشه 3 تا ،عبارت ام پیچیده بشه دیگه استفاده از اینا یکم سخت میشه،برای یه المپیاد ریاضیی خوبه که عادت کنه اینطوری حل کنه

آره از مشتق استفاده میکنه ولی خیلی سادست. میگه تابع f(x1,x2,x3,...,xn)*1 که یک رو برای حفظ ظاهر نوشتم ! تحت قید g(x1,x2,x3,...,xn)=0 دارای مقدار اکسترمم هست به گونه ای که x1 و x2 و .... در رابطه زیر صدق کنه :

که لاندا ضریب لاگرانژه.
به عبارت دیگه :

که مشتق ها رو معمولی نوشتم (گیر ندید )

 

[eyekay]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

اینا تو ریاضی ام هست،ولی جایی که آدم شدیدا گیر بیوفته،هیچ ایده ای ام نداشته باشه،یه 2 ساعت تر و تمیز ام وقت مونده باشه،چون معادلاتمون همیشه انقدر تمیز در نمیاد،


یه راه حل بامزه به ذهنم رسید،

x^2 + y^2=1 جای x , y می تونیم سینوس و کسینوس یه زاویه رو قرار بدیم مثل a پس باید حداکثر 3sina + 4cosa رو به دست بیاریم،حالا عبارت رو تقسیم بر 5 کنید،باید ماکسیموم اینو به دست بیاریم 3/5sina+4/5cosa
حالا توجه کنید که جمع مربعات سه پنجم و چهار پنجم یکه،حالا می تونیم جای اینا قرار بدیم cosb , sinb
حالا :3/5sina +4/5cosa=siacosb+cosasinb=sin(a+b) s
که سینوس همواره کوچکتر از یکه،با ارکسینوس و ارککسینوس حالت تساوی

 

[adventurous]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

سلام
یه سوال :اگه دو تا نیمساز از یک مثلث با هم برابر باشند با استفاده از قضیه استوارت چه جوری می شه ثابت کرد که مثلث متساوی الساقین است؟
ممنون میشم اگه یه نفر اینو حلش کنه.

 

[سیاوش]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

سلام
حتما باید با قضیه استوارت باشه ؟
من یه اثبات ساده ازش میگم .
اولا این سواله معروفه به قضیه اشتینر -لموس
سرگذشت جالبی داره تو گوگل سرچ کنید
صورت قضیه : در مثلث ABC نیمساز زاویه ی داخلی B با ضلع AC در D برخورد میکند و نیمساز زاویه ی داخلی C ضلع AB را در E قطع میکند.
هرگاه BD=CE باشد ثابت کنید مثلث ABC ساقین است.
اثبات :
برهان خلف فرض کنیم مثلث ساقین نباشه پس زاویه ی B مخالف زاویه ی C هستش.
فرض کنیم B>C باشد در این صورت داریم:
B/2 >C/2
EF را موازی و مساوی BD رسم کرده و از F به C وبه D وصل میکنیم.
در متواضی الاضلاع BEFD داریم BE=DF و B/2=EFD
در مثلث ساقین ECF داریم :
EFD+DFC=ECD+DCE
از طرفی B/2>C/2 و B/2=EFD
پس نتیجه میشود که : DFC<DCF که نتیجه میدهد : CD<DF در نتیجه CD<BE
حالا از قضیه ی لولا استفاده میکنیم :
در 2 مثلث BCD و BCE ضلع BC مشترک است و CD<BE پس B/2<C/2
که خلاف فرض است پس با فرض BD=CE زاویه B نمیتونه از C بزرگتر باشه به طور مشابه C نیز از B نمیتونه بزرگتر باشه .
پس این 2 زاویه برابرند و مثلث ساقین است.
حکم اثبات شد :)

 

[adventurous]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

خیلی ممنون.فقط اگه اثباتش رو با استوارت پیدا کردین حتما بگین...

 

[berjis]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

آقا سيوش يك سوال تو خط 14 از كجا معلوم كه مثلث ECF متساوي الساقين باشه ؟

 

[سیاوش]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

آقا سيوش يك سوال تو خط 14 از كجا معلوم كه مثلث ECF متساوي الساقين باشه ؟

EF موازی و مساوی BD هست پس EF = BD
فرض مساله هم میگه EC=BD
در نتیجه EF=EC پس مثلث ECF ساقین هستش.

 

[alireza.kjy]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

بچه ها ببخشید حوصله تایپ نیس
با استفاده از قضیه سینوس ها خیلی راحت اثبات میشه که فک کنم اگه بخوایم از هندسه ناب یه کم بریم بیرون این روش از همشون ساده تره

 

[darrande]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

خب یه سوال نسبتا خوب
Let a,b,c,d be real numbers with sum 0. Prove the inequality:
(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^2 + 12> 6(abc + abd + acd + bcd).

 

[esfrwms]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

اینم یه سوال که سخته یکم در واقع اگه حل نشد به خاطر اینه که سخته. سوال سخت خوبیش اینه دیگه. حل نشد میندازی گردن سختیش و کک ت هم نمیگزه.

سوال:

برای هر x,y متعلق به اعداد صحیح ، ثابت کنید عدد صحیحی مانند z وجود دارد طوری که:

(y^3-x^2) | (z^6-x^2)

برای این که مشکل پیش نیاد ، میتونید فرض کنید که مقدار سمت چپ مخالف صفره. البته من فکر می کنم اون موقع هم با توجه به اینکه به نظر من 0|0 میشه بازهم حکم کلی داد ولی برای این که یه عده با 0|0 مخالفن ، نمی خوام بحث اصلی نادیده گرفته بشه.

پاسخش
.....
..
.
دو حالت پیش میاد. یکی این که دو عدد x,y نسبت به هم اول باشند و دوم اینکه نباشن. حالت دوم یعنی این که نسبت به هم اول نباشن تا یه جایی پیش میره بعدش تبدیل میشه به این که نسبت به هم اول باشن. پس اول فرض می کنیم:

(x,y) = 1 ---> (y^3-x^2 , y) = 1 ----> vojud darad m,n ozve Z tori ke : ny+m(y^3-x^2) = 1

---->ny ( mod (y^3 - x^2)) = 1 ---> gharar midahim : z = nx ----> z^6 - x^2 (mod (y^3-x^2)) =n^6 * x^6 - x^2 (mod (y^3-x^2)) = n^6 * x^6 - x^2 * (ny)^6 (mod (y^3-x^2)) = x^2 * n^6 * (x^4 - y^6) (mod (y^3-x^2)) = x^2 * n^6 * (x^2 - y^3)*(x^2 + y^3) (mod (y^3-x^2)) = 0 ----> (y^3-x^2) | (z^6-x^2)

اما حالا حالتی را فرض می کنیم که این دو عدد نسبت به هم اول نباشند و ب . م . م آن ها برابر d است که d بزرگتر از 1 است:

(x,y)=d>1 ----> vojud darad m , n ozve Z tori ke: ( m , n) = 1 , x=md , y=nd

y^3-x^2 = d^2 * (d * m^3 - n^2 ) va darim : (d * m^3 - n^2 , m) = 1

از این جا به بعد راه حل درست مانند حالت اول حل می شود که به عهده ی خواننده !!!!!!!!

:-p :-p :-p

تعمیمش درسته یا نه؟

سوال خوبیه. رو اون هم فکر کنید. اگه درسته ، چرا درسته ؟ اگه نه، چرا نه؟ مثال نقض؟ چی؟ هیچی؟

بابا یه کاریش بکنید دیگه

 

[esfrwms]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

امیدوارم این سوالا به دردتون بخوره از بچه هی المپیاد ریاضی مر کز پسرانمون گرفتم که اونام از معلم المپیادشون محمد پدرام فر (حتما میشناسینش )گرفتن
) تمام توابع از Z->R را بیابید طوری که:

الف) f(x+2003)<=f(x)+2003

ب) f(x+1987)>=f(x)+1987


پاسخش


f(x+ 2003n) = f(x+2003(n-1)+2003)<=f(x+2003(n-1)) + 2003 = f(x+2003(n-2)+ 2003)

<=f(x+2003(n-2))+ 2*2003 = ....

پس با ادامه روند بالا داریم:

a) f(x+2003n)<=f(x)+2003n

همین عمل را بر روی شرط (ب) اعمال می کنیم و به دست می آید:

b) f(x+1987n)>=f(x)+1987n




a) n=1987 --> f(x+2003*1987)<=f(x)+2003*1987

b) n=2003 --> f(x+1987*2003)>=f(x)+1987*2003

-->f(x+2003*1987)=f(x)+2003*1987 ---> f(x+2003)=f(x)+2003 , f(x+1987)=f(x)+1987

-->f(x + 2003m+1987t)=f(x)+2003m+1987t

(2003,1987)=1 ---> vojud darad m , t tori ke: 2003m+1987t=1

-->f(x+1)=f(x)+1

ادامه راه حل ساده است چون که معادله تابع ساده تشکیل شد.

 

[sanimath]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

لطفاً لطفاً و دوباره لطفاً خیلی زود به این سوال جواب بدید.
x,y,zعضو[مثبت پی ,منفی پی ] که در سه شرط زیر صدق می کنند:
x+y+z=0
sin x+sin +sinz=0
cos x+cos y+cos z=0
مقدار(x^2)+(y^2)+(z^2)=?
با راه حل لطفاً.

 

[ماهان بابل]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

واسه اون سوال مرحله دو که قرار بود دوره 27(؟)باشه یه ایده دارم که به یه چیز بدیهی می رسه! اما اونا نمی تونم اثبات کنم نمیدونم چرا
ببینید چی میگم.
فرض کنید نقطه Mوسط کمان bc باشه و عمود های وارد بر AB و AC x و y باشند،نقطه 'Mکه با نقطه M مساوی هست رو روی کمان در نظر بگیریم و عمود ها را وارد کنیم و به ترتیب Pو Q بنامیم.بدون کاسته شدن از کلیت مساله میشه فرض کرد نقطه 'M به Bنزدیک تر است.حالا اگه از 'Mبه MX عمود کنیم و پای عمود را H بنامیم،و نقطه K به همین ترتیب برای Mو 'MQتعریف بشه، با چند تا فیثاغورث در میاد که باید اثبات کنیم YQبزرگتر از BXهست. اما نمیدونم چه شکلی اثباتش کنم

 

[کیان]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

کی می تونه ثابت کنه که عمله جمع وجود نداره
من یه راه حل دارم اول می خوام شما بگید

 

[eyekay]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

کی می تونه ثابت کنه که عمله جمع وجود نداره
من یه راه حل دارم اول می خوام شما بگید

جانم؟عمل جمعو ما تعریف می کنیم !چیو می خوای اثبات کنی که وجود نداره؟البته بحثت زیاد بخ تاپیک نمی خوره

 

[کیان]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

نه این یکی از سوالاته پروفسور مهدوی هست از خودم که در نیاوردم جانم
جوابشم می دونم
می دونم اینو تعریف می کنیم اما می شه یه کاری بکنیم که ازش استفاده نشه


حامد مهدوی:پست متوالی ندید لطفا

 

[eyekay]

پاسخ : سوال المپیادی(سوال و حل آن ها با همکاری هم)

نه این یکی از سوالاته پروفسور مهدوی هست از خودم که در نیاوردم جانم
جوابشم می دونم
می دونم اینو تعریف می کنیم اما می شه یه کاری بکنیم که ازش استفاده نشه


حامد مهدوی:پست متوالی ندید لطفا

اه؟فامیلمون هم که هست !ولی خنده داره این حرف !تعریف ساخته ی دست منه !چیو می خوای ثابت کنی وجود نداره؟